Uma onda se propagando em uma corda tensionada é descrita pela função (em unidade do SI ):
Determine expressões para a velocidade e para a aceleração de qualquer seguimento da corda em qualquer instante de tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma onda que se propaga em uma corda tensionada, descrita pela função:
O que precisamos encontrar são as expressões para a velocidade e a aceleração de qualquer ponto da corda em qualquer instante de tempo. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que cada parte da função representa:
- $ A = 0{,}350 $ metros é a amplitude da onda.
- $ \omega = 10\pi $ rad/s é a frequência angular.
- $ k = 3\pi $ rad/m é o número de onda.
- $ \phi = \frac{\pi}{4} $ é a fase inicial.
A função $ y(x, t) $ descreve a posição vertical de um ponto na corda em função de $ x $ (posição ao longo da corda) e $ t $ (tempo).
Passo 3
Para encontrar a velocidade de um ponto na corda, precisamos derivar $ y(x, t) $ em relação ao tempo $ t $. A velocidade é a taxa de variação da posição, ou seja:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 4
Vamos derivar $ y(x, t) $ em relação a $ t $:
A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ t $ é $ -\sin(u) \cdot \frac{du}{dt} $. Aplicando isso:
Passo 5
Simplificando os sinais:
Passo 6
Agora, para encontrar a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade, derivamos $ v(x, t) $ em relação a $ t $:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 7
Derivando $ v(x, t) $:
A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ t $ é $ \cos(u) \cdot \frac{du}{dt} $. Aplicando isso:
Passo 8
Simplificando os sinais:
Resposta
As expressões para a velocidade e para a aceleração de qualquer ponto da corda em qualquer instante de tempo são: