Uma onda se propagando em uma corda tensionada é descrita pela função (em unidade do SI ):
y(x, t)=overbrace0,350^A cos (-overbrace10 pi^omega t+widetilde3 pi x+stackrel ఓ pi4)
Determine expressões para a velocidade e para a aceleração de qualquer seguimento da corda em qualquer instante de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma onda que se propaga em uma corda tensionada, descrita pela função:
y(x, t) = 0,350 cos(-10pi t + 3pi x + pi4)
O que precisamos encontrar são as expressões para a velocidade e a aceleração de qualquer ponto da corda em qualquer instante de tempo. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que cada parte da função representa:
  • $ A = 0{,}350 $ metros é a amplitude da onda.
  • $ \omega = 10\pi $ rad/s é a frequência angular.
  • $ k = 3\pi $ rad/m é o número de onda.
  • $ \phi = \frac{\pi}{4} $ é a fase inicial.
A função $ y(x, t) $ descreve a posição vertical de um ponto na corda em função de $ x $ (posição ao longo da corda) e $ t $ (tempo).

Passo 3

Para encontrar a velocidade de um ponto na corda, precisamos derivar $ y(x, t) $ em relação ao tempo $ t $. A velocidade é a taxa de variação da posição, ou seja:
y(x, t)
Vamos calcular essa derivada.

Passo 4

Vamos derivar $ y(x, t) $ em relação a $ t $:
y(x, t)
A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ t $ é $ -\sin(u) \cdot \frac{du}{dt} $. Aplicando isso:
t

Passo 5

Simplificando os sinais:
v(x, t) = 0,350 cdot 10pi cdot sin(-10pi t + 3pi x + pi4)
v(x, t) = 3,50pi sin(-10pi t + 3pi x + pi4)

Passo 6

Agora, para encontrar a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade, derivamos $ v(x, t) $ em relação a $ t $:
v(x, t)
Vamos calcular essa derivada.

Passo 7

Derivando $ v(x, t) $:
v(x, t)
A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ t $ é $ \cos(u) \cdot \frac{du}{dt} $. Aplicando isso:
v(x, t) = 3,50pi sin(-10pi t + 3pi x + pi4)

Passo 8

Simplificando os sinais:
a(x, t) = -3,50pi cdot 10pi cdot cos(-10pi t + 3pi x + pi4)
a(x, t) = -35pi^2 cos(-10pi t + 3pi x + pi4)

Resposta

As expressões para a velocidade e para a aceleração de qualquer ponto da corda em qualquer instante de tempo são:
v(x, t) = 3,50pi sin(-10pi t + 3pi x + pi4)
a(x, t) = -35pi^2 cos(-10pi t + 3pi x + pi4)

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