Uma onda transversal longitudinal progressiva propaga-se ao longo de uma corda com velocidade de 40 cm / s. Observa-se que o deslocamento da corda em x=10 cm varia com o tempo de acordo com a equação y=(5,0 cm) sin (1,0 r d-(4,0 rd / s) t). A massa específica da corda é 4,0 g / cm. Responda aos itens abaixo.
Qual o comprimento da onda?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre ondas que se propagam em uma corda. O enunciado diz que uma onda transversal longitudinal está se movendo com uma velocidade de . A gente também tem uma equação que descreve como o deslocamento da corda varia com o tempo em um ponto específico ( ). Além disso, nos foi dada a massa específica da corda. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o comprimento da onda desse movimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender alguns conceitos básicos sobre ondas. Uma onda pode ser descrita pela equação:
y(x, t) = A sin(kx - omega t)
Onde:
  • y = (5,0 , cm) sin(1,0 , rad - 4,0 , rad/s cdot t) é a amplitude da onda.
  • é o número de onda, que está relacionado ao comprimento da onda ( ) pela fórmula .
  • é a frequência angular, relacionada à frequência ( ) pela fórmula .
  • é a velocidade de propagação da onda, relacionada por .
No nosso exercício, temos a equação do deslocamento:
Comparando com a equação padrão da onda, podemos identificar que:
  • (observando o termo que multiplica )

Passo 3

Agora, sabemos que a velocidade da onda ( v = omegak ) está relacionada com v = 4,0 , rad/s1,0 , rad/cm = 4,0 , cm/s e pela fórmula:
Vamos verificar se essa relação está correta com os valores que temos:
Mas o enunciado diz que a velocidade é . Isso significa que houve um erro na identificação do número de onda . Vamos corrigir isso.

Passo 4

Rearranjando a fórmula da velocidade para encontrar k = omegav :
k = 4,0 , rad/s40 , cm/s = 0,1 , rad/cm
Substituindo os valores que temos:
Então, o número de onda correto é .

Passo 5

Agora que temos o número de onda k = 2pilambda implies lambda = 2pik , podemos encontrar o comprimento da onda ( lambda = 2pi0,1 = 20pi , cm ) usando a relação:
Substituindo :

Resposta

O comprimento da onda é , ou aproximadamente .

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