A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal x0y é dada por
, em unidades do sistema internacional (SI). Em t = 0, os vetores posição e velocidade são, respectivamente:
e
Em
, determine
(a) a posição e sua velocidade e
(b) o ângulo entre a direção do movimento e o semi-eixo positivo
.
(a) a posição e sua velocidade e
(b) o ângulo entre a direção do movimento e o semi-eixo positivo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática juntos! A parada aqui envolve movimentos no plano, onde temos a aceleração da partícula e as condições iniciais de posição e velocidade no tempo zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração para encontrar a velocidade e a posição a partir da aceleração, além de calcular o ângulo da direção do movimento usando trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em qualquer tempo
. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para obter a velocidade, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração é dada por:
Integrando cada componente:
Sabemos que em
, a velocidade
. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a posição da partícula em qualquer tempo
. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
Sabendo que em
, a posição
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a posição e a velocidade em
.
Para a velocidade:
Para a posição:
Passo 5
Agora, vamos determinar o ângulo entre a direção do movimento e o eixo positivo
. Esse ângulo
pode ser encontrado usando a tangente, que é a razão entre as componentes
e
da velocidade:
Para encontrar
, usamos a função arco-tangente:
Calculando:
Resposta
(a) Em
, a posição da partícula é
metros e a velocidade é
metros por segundo.
(b) O ângulo entre a direção do movimento e o eixo positivo
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
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transportam uma potência média
. se o comprimento de onda for dobrado, de modo que
, enquanto a tensão
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Uma onda transversal longitudinal progressiva propaga-se ao longo de uma corda com velocidade de
. Observa-se que o deslocamento da corda em
varia com o tempo de acordo com a equação
. A massa específica da corda é
. Responda aos itens abaixo.
Qual o comprimento da onda?
Qual o comprimento da onda?
(Valor 1,0) Uma folha de árvore, sobre um plano horizontal
, é acelerada por um vento segundo a equação:
. No instante
, a velocidade da folha é
. Quais são o (a) módulo e (b) o ângulo da velocidade da folha após ter se deslocado
paralelamente ao eixo
.
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.