A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal x0y é dada por a=3 t imath+4 t jmath, em unidades do sistema internacional (SI). Em t = 0, os vetores posição e velocidade são, respectivamente: r=20 imath+40 jmath e v=5,0 imath+2,0 jmath Em t=4,0 s, determine
(a) a posição e sua velocidade e
(b) o ângulo entre a direção do movimento e o semi-eixo positivo x >0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática juntos! A parada aqui envolve movimentos no plano, onde temos a aceleração da partícula e as condições iniciais de posição e velocidade no tempo zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração para encontrar a velocidade e a posição a partir da aceleração, além de calcular o ângulo da direção do movimento usando trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em qualquer tempo a(t) = 3t,imath + 4t,jmath . Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para obter a velocidade, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração é dada por:
v(t) = integral a(t),dt = integral 3t,dt,imath + integral 4t,dt,jmath = 32t^2,imath + 2t^2,jmath + v0
Integrando cada componente:
v(t) = 32t^2,imath + 2t^2,jmath + 5,imath + 2,jmath
Sabemos que em v(t) = (5 + 32t^2)imath + (2 + 2t^2)jmath , a velocidade . Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição da partícula em qualquer tempo r(t) = integral v(t),dt = integral (5 + 32t^2)dt,imath + integral (2 + 2t^2)dt,jmath . A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
r(t) = (5t + 36t^3)imath + (2t + 23t^3)jmath + r0
r(t) = (20 + 5t + 12t^3)imath + (40 + 2t + 23t^3)jmath
Sabendo que em , a posição :

Passo 4

Agora, vamos calcular a posição e a velocidade em v(4) = (5 + 32(4)^2)imath + (2 + 2(4)^2)jmath .
Para a velocidade:
v(4) = (5 + 32(16))imath + (2 + 2(16))jmath
v(4) = (5 + 24)imath + (2 + 32)jmath = 29,imath + 34,jmath
r(4) = (20 + 5(4) + 12(4)^3)imath + (40 + 2(4) + 23(4)^3)jmath
Para a posição:
r(4) = (20 + 20 + 12(64))imath + (40 + 8 + 23(64))jmath
r(4) = (40 + 32)imath + (48 + 1283)jmath = 72,imath + (48 + 426)jmath = 72,imath + 906,jmath

Passo 5

Agora, vamos determinar o ângulo entre a direção do movimento e o eixo positivo tan(theta) = vyvx = 3429 . Esse ângulo theta = arctan(3429) pode ser encontrado usando a tangente, que é a razão entre as componentes theta approx arctan(1.1724) approx 49.4^circ e da velocidade:
Para encontrar , usamos a função arco-tangente:
Calculando:

Resposta

(a) Em , a posição da partícula é metros e a velocidade é metros por segundo.
(b) O ângulo entre a direção do movimento e o eixo positivo é aproximadamente .

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