A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal x0y é dada por , em unidades do sistema internacional (SI). Em t = 0, os vetores posição e velocidade são, respectivamente: e Em , determine
(a) a posição e sua velocidade e
(b) o ângulo entre a direção do movimento e o semi-eixo positivo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática juntos! A parada aqui envolve movimentos no plano, onde temos a aceleração da partícula e as condições iniciais de posição e velocidade no tempo zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração para encontrar a velocidade e a posição a partir da aceleração, além de calcular o ângulo da direção do movimento usando trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em qualquer tempo . Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para obter a velocidade, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração é dada por:
Integrando cada componente:
Sabemos que em , a velocidade . Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição da partícula em qualquer tempo . A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
Sabendo que em , a posição :

Passo 4

Agora, vamos calcular a posição e a velocidade em .
Para a velocidade:
Para a posição:

Passo 5

Agora, vamos determinar o ângulo entre a direção do movimento e o eixo positivo . Esse ângulo pode ser encontrado usando a tangente, que é a razão entre as componentes e da velocidade:
Para encontrar , usamos a função arco-tangente:
Calculando:

Resposta

(a) Em , a posição da partícula é metros e a velocidade é metros por segundo.
(b) O ângulo entre a direção do movimento e o eixo positivo é aproximadamente .

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