Opcional - Questão: Sabendo que a aceleração de uma partícula é uma função do tempo dada por , onde é uma constante considerando o instante inicial como , utilize o cálculo diferencial integral, bem como as definições de velocidade e aceleração instantâneas para obter: a) a equação que descreve a velocidade dessa partícula em função do tempo, de maneira que na expressão conste a velocidade inicial e a aceleração; b) a equação que descreve a posição dessa partícula em função do tempo, de maneira que na expressão conste velocidade inicial e a aceleração.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de cinemática, que faz parte da Física, onde a aceleração de uma partícula é dada por . A gente precisa descobrir duas coisas: primeiro, a equação que mostra a velocidade dessa partícula em função do tempo, considerando a velocidade inicial e a aceleração; e segundo, a equação que mostra a posição dessa partícula em função do tempo, também levando em conta a velocidade inicial e a aceleração. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial e integral, além de entender o que são velocidade e aceleração instantâneas.

Passo 2

Vamos começar entendendo que aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que . Dado que , podemos escrever:

Passo 3

Para encontrar a velocidade , precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A integral de em relação a é:
Aqui, é a constante de integração, que representa a velocidade inicial da partícula quando . Vamos chamar a velocidade inicial de . Então:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a posição . Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui, é a constante de integração, que representa a posição inicial da partícula quando . Vamos supor que a posição inicial seja . Portanto:

Resposta

a) A equação da velocidade em função do tempo é:
b) A equação da posição em função do tempo é:

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