Opcional - Questão: Sabendo que a aceleração de uma partícula é uma função do tempo dada por
, onde
é uma constante
considerando o instante inicial como
, utilize o cálculo diferencial
integral, bem como as definições de velocidade e aceleração instantâneas para obter: a) a equação que descreve a velocidade
dessa partícula em função do tempo, de maneira que na expressão conste a velocidade inicial e a aceleração; b) a equação que descreve a posição dessa partícula em função do tempo, de maneira que na expressão conste velocidade inicial e a aceleração.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de cinemática, que faz parte da Física, onde a aceleração de uma partícula é dada por
. A gente precisa descobrir duas coisas: primeiro, a equação que mostra a velocidade
dessa partícula em função do tempo, considerando a velocidade inicial e a aceleração; e segundo, a equação que mostra a posição dessa partícula em função do tempo, também levando em conta a velocidade inicial e a aceleração. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial e integral, além de entender o que são velocidade e aceleração instantâneas.
Passo 2
Vamos começar entendendo que aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que
. Dado que
, podemos escrever:
Passo 3
Para encontrar a velocidade
, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A integral de
em relação a
é:
Aqui,
é a constante de integração, que representa a velocidade inicial da partícula quando
. Vamos chamar a velocidade inicial de
. Então:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a posição
. Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui,
é a constante de integração, que representa a posição inicial da partícula quando
. Vamos supor que a posição inicial seja
. Portanto:
Resposta
a) A equação da velocidade em função do tempo é:
b) A equação da posição em função do tempo é: