Opcional - Questão: Sabendo que a aceleração de uma partícula é uma função do tempo dada por a(t)=kt^2, onde k é uma constante e considerando o instante inicial como t0=0, utilize o cálculo diferencial e integral, bem como as definições de velocidade e aceleração instantâneas para obter: a) a equação que descreve a velocidade v(t) dessa partícula em função do tempo, de maneira que na expressão conste a velocidade inicial e a aceleração; b) a equação que descreve a posição dessa partícula em função do tempo, de maneira que na expressão conste velocidade inicial e a aceleração.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de cinemática, que faz parte da Física, onde a aceleração de uma partícula é dada por a(t) = kt^2. A gente precisa descobrir duas coisas: primeiro, a equação que mostra a velocidade v(t) dessa partícula em função do tempo, considerando a velocidade inicial e a aceleração; e segundo, a equação que mostra a posição dessa partícula em função do tempo, também levando em conta a velocidade inicial e a aceleração. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial e integral, além de entender o que são velocidade e aceleração instantâneas.

Passo 2

Vamos começar entendendo que aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que a(t) = dvdt. Dado que a(t) = kt^2, podemos escrever:
dvdt = kt^2

Passo 3

Para encontrar a velocidade v(t), precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A integral de kt^2 em relação a t é:
v(t) = integral kt^2 dt = k cdot t^33 + C
Aqui, C é a constante de integração, que representa a velocidade inicial da partícula quando t = 0. Vamos chamar a velocidade inicial de v0. Então:
v(t) = kt^33 + v0

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a posição s(t). Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
s(t) = integral v(t) dt = integral ( kt^33 + v0 ) dt

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
s(t) = k3 cdot t^44 + v0 t + D
Aqui, D é a constante de integração, que representa a posição inicial da partícula quando t = 0. Vamos supor que a posição inicial seja s0. Portanto:
s(t) = kt^412 + v0 t + s0

Resposta

a) A equação da velocidade em função do tempo é:
v(t) = kt^33 + v0
b) A equação da posição em função do tempo é:
s(t) = kt^412 + v0 t + s0

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