As equações a seguir fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro casos (em todas as equações, x está em metros, t em segundos e t>0 ): (1) x=3 t-2; (2) x=-4 t^2-2; (3) x=2 / t^2; (4) x=-2. (b) Em que caso(s) a velocidade v é no sentido negativo do eixo x ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro equações que mostram a posição de uma partícula em função do tempo . O que a tarefa pede é descobrir em qual(is) dessas situações a velocidade está indo para o lado negativo do eixo . Ou seja, precisamos saber quando a partícula está se movendo para trás.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para cada equação de , vamos calcular .

Passo 3

Vamos calcular a velocidade para cada caso:
  1. Caso 1: v(t) = dxdt = ddt(3t - 2) = 3
    v(t) = dxdt = ddt(-4t^2 - 2) = -8t
    A velocidade é constante e positiva.
  2. Caso 2: v(t) = dxdt = ddt(2t^-2) = -4t^-3 = -4t^3
    v(t) = dxdt = ddt(-2) = 0
    A velocidade depende de e é negativa quando .
  3. Caso 3:
    Podemos reescrever como .
    A velocidade é sempre negativa para .
  4. Caso 4:
    A velocidade é zero, ou seja, a partícula não está se movendo.

Passo 4

Agora, analisando as velocidades:
  • Caso 1: (positivo) – Não está no sentido negativo.
  • Caso 2: (negativo para ) – Está no sentido negativo.
  • Caso 3: (sempre negativo para ) – Está no sentido negativo.
  • Caso 4: – Não está se movendo.

Resposta

A velocidade está no sentido negativo do eixo nos casos 2 e 3.

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