(opcional) Responda as questões abaixo:
Sabendo que tan ^-1(1)=pi / 4, use a aproximação acima para estabelecer que
pi approx 4 sumk=1^n (-1)^k+12 k-1
para n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Sabemos que tan^-1(1) = pi4. A matéria envolvida aqui é a série de Taylor para funções trigonométricas, especificamente para a função arctangente. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série de tan^-1(x) e substituir x = 1 nela.

Passo 2

A série de Taylor para tan^-1(x) em torno de x = 0 é dada por:
tan^-1(x) = sumk=0^infty (-1)^k2k + 1 x^2k + 1
Isso significa que podemos aproximar tan^-1(x) somando os termos dessa série até um certo número n de termos.

Passo 3

Como sabemos que tan^-1(1) = pi4, podemos substituir x = 1 na série:
tan^-1(1) = sumk=0^infty (-1)^k2k + 1 (1)^2k + 1 = sumk=0^infty (-1)^k2k + 1
Portanto:
pi4 = sumk=0^infty (-1)^k2k + 1

Passo 4

Para aproximar pi, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 4:
pi = 4 sumk=0^infty (-1)^k2k + 1
Isso nos dá uma expressão para pi como uma série infinita.

Passo 5

Como queremos uma aproximação com um número finito de termos n, substituímos o infinito por n na soma:
pi approx 4 sumk=0^n-1 (-1)^k2k + 1
Podemos também reescrever o índice começando em k=1 para facilitar:
pi approx 4 sumk=1^n (-1)^k+12k - 1

Resposta

pi approx 4 sumk=1^n (-1)^k+12k - 1

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