(opcional) Responda as questões abaixo:
Sabendo que , use a aproximação acima para estabelecer que
para

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Sabemos que . A matéria envolvida aqui é a série de Taylor para funções trigonométricas, especificamente para a função arctangente. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série de e substituir nela.

Passo 2

A série de Taylor para em torno de é dada por:
Isso significa que podemos aproximar somando os termos dessa série até um certo número de termos.

Passo 3

Como sabemos que , podemos substituir na série:
Portanto:

Passo 4

Para aproximar , vamos multiplicar ambos os lados da equação por 4:
Isso nos dá uma expressão para como uma série infinita.

Passo 5

Como queremos uma aproximação com um número finito de termos , substituímos o infinito por na soma:
Podemos também reescrever o índice começando em para facilitar:

Resposta

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