(opcional) Responda as questões abaixo:
Sabendo que
, use a aproximação acima para estabelecer que
para
Sabendo que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Sabemos que
. A matéria envolvida aqui é a série de Taylor para funções trigonométricas, especificamente para a função arctangente. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série de
e substituir
nela.
Passo 2
A série de Taylor para
em torno de
é dada por:
Isso significa que podemos aproximar
somando os termos dessa série até um certo número
de termos.
Passo 3
Como sabemos que
, podemos substituir
na série:
Portanto:
Passo 4
Para aproximar
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 4:
Isso nos dá uma expressão para
como uma série infinita.
Passo 5
Como queremos uma aproximação com um número finito de termos
, substituímos o infinito por
na soma:
Podemos também reescrever o índice começando em
para facilitar:
Resposta
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