O operador de Hadamard em um qubit pode ser escrito como:
(a) Mostrar explicitamente que a transformada de Hadamard em qubits, , pode ser escrita como:
onde é o produto escalar bit a bit entre e .
(b) Escrever a representação matricial explícita para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata do operador de Hadamard aplicado a múltiplos qubits. A matéria envolve portas quânticas, mais especificamente a porta de Hadamard, e operações tensoriais. Para resolver, vamos precisar entender como a porta de Hadamard funciona em um único qubit e como estendê-la para múltiplos qubits usando o produto tensorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a porta de Hadamard para um único qubit. Ela é representada pela matriz:
Essa matriz transforma os estados básicos e em superposições iguais de e .
Passo 3
Agora, quando temos qubits, a porta de Hadamard aplicada a todos eles é representada pelo produto tensorial . Isso significa que aplicamos a porta de Hadamard em cada qubit individualmente, combinando os efeitos.
Passo 4
Para mostrar que pode ser escrita como:
Vamos entender o que cada parte dessa expressão representa.
Passo 5
Primeiro, no denominador normaliza a soma para garantir que a operação seja unitária. O somatório percorre todos os pares possíveis de estados e , onde e são sequências de bits com comprimento .
Passo 6
O termo envolve o produto escalar bit a bit entre e . Isso significa que para cada par de bits em e , multiplicamos e somamos os resultados, e então usamos isso como expoente de .
Passo 7
Finalmente, é o operador que mapeia o estado para o estado . Combinando tudo, a expressão completa representa como a porta de Hadamard atua em todos os qubits simultaneamente.
Passo 8
Agora, para a parte (b), vamos escrever a representação matricial explícita para , ou seja, a porta de Hadamard aplicada a 2 qubits.
Passo 9
Sabemos que o produto tensorial de duas matrizes resulta em uma matriz . Calculando isso, temos:
$$
H^{\otimes 2} = \frac{1}{2}
\otimes
\frac{1}{2}
$$
Resposta
A representação matricial explícita para H^otimes 2 é: