O operador de Hadamard em um qubit pode ser escrito como:
H=1raiz2[(|0rang<=+|1rang<=)lang<= 0|+(|0rang<=-|1rang<=)lang<= 1|]
(a) Mostrar explicitamente que a transformada de Hadamard em n qubits, H^otimes n, pode ser escrita como:
H^otimes n=1raiz2^n sumx, y(-1)^x cdot y|xrang<=lang<= y|,
onde x cdot y é o produto escalar bit a bit entre x e y.
(b) Escrever a representação matricial explícita para H^otimes 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata do operador de Hadamard aplicado a múltiplos qubits. A matéria envolve portas quânticas, mais especificamente a porta de Hadamard, e operações tensoriais. Para resolver, vamos precisar entender como a porta de Hadamard funciona em um único qubit e como estendê-la para múltiplos qubits usando o produto tensorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a porta de Hadamard para um único qubit. Ela é representada pela matriz:
H = 1raiz2 1 & 1 1 & -1
Essa matriz transforma os estados básicos |0rang<= e |1rang<= em superposições iguais de |0rang<= e |1rang<=.

Passo 3

Agora, quando temos n qubits, a porta de Hadamard aplicada a todos eles é representada pelo produto tensorial H^otimes n. Isso significa que aplicamos a porta de Hadamard em cada qubit individualmente, combinando os efeitos.

Passo 4

Para mostrar que H^otimes n pode ser escrita como:
H^otimes n = 1raiz2^n sumx, y (-1)^x cdot y |xrang<= lang<= y|
Vamos entender o que cada parte dessa expressão representa.

Passo 5

Primeiro, 2^n no denominador normaliza a soma para garantir que a operação seja unitária. O somatório sumx, y percorre todos os pares possíveis de estados |xrang<= e |yrang<=, onde x e y são sequências de bits com comprimento n.

Passo 6

O termo (-1)^x cdot y envolve o produto escalar bit a bit entre x e y. Isso significa que para cada par de bits em x e y, multiplicamos e somamos os resultados, e então usamos isso como expoente de -1.

Passo 7

Finalmente, |xrang<= lang<= y| é o operador que mapeia o estado |yrang<= para o estado |xrang<=. Combinando tudo, a expressão completa representa como a porta de Hadamard atua em todos os qubits simultaneamente.

Passo 8

Agora, para a parte (b), vamos escrever a representação matricial explícita para H^otimes 2, ou seja, a porta de Hadamard aplicada a 2 qubits.

Passo 9

Sabemos que o produto tensorial de duas matrizes H otimes H resulta em uma matriz 4 times 4. Calculando isso, temos:
$$
H^{\otimes 2} = \frac{1}{2}
H^otimes 2 = 12 1 & 1 1 & -1 otimes 1 & 1 1 & -1 = 12 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1
\otimes

\frac{1}{2}
$$

Resposta

A representação matricial explícita para H^otimes 2 é:
H^otimes 2 = 12 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1

Exercícios relacionados