Um operador linear no
é definida pela matriz
. Determine u e
, tal que :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear no plano
representada pela matriz
. O que a gente precisa fazer é encontrar os vetores
e
que satisfazem a equação
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como multiplicação de matrizes por vetores e resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o vetor
de forma geral. No
, qualquer vetor pode ser representado como
, onde
e
são os componentes do vetor nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação linear
no vetor
. Isso significa multiplicar a matriz
pelo vetor
:
Passo 4
A equação que queremos resolver é
. Vamos igualar as duas expressões:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação primeiro:
Somando
em ambos os lados:
Passo 6
Agora que sabemos que
, vamos substituir esse valor na primeira equação:
Essa equação é sempre verdadeira, o que significa que não impõe nenhuma restrição adicional sobre
. Portanto,
pode ser qualquer número real.
Resposta
Os valores que satisfazem a equação são todos os vetores da forma
, onde
é qualquer número real.
Exercícios relacionados
Se
e
, determine:
;
Calcule o produto vetorial
para:
e
.
Escreva a matriz natural associada a transformação linear :
Quais das seguintes transformações são lineares ?