Um operador linear no R^2 é definida pela matriz [f]=[rr-1 & 2 0 & 1]. Determine u e v, tal que : f(v)=-v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear no plano R^2 representada pela matriz [f]=-1 & 2 0 & 1. O que a gente precisa fazer é encontrar os vetores u e v que satisfazem a equação f(v) = -v. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como multiplicação de matrizes por vetores e resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o vetor v de forma geral. No R^2, qualquer vetor pode ser representado como v = u v , onde u e v são os componentes do vetor nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação linear f no vetor v. Isso significa multiplicar a matriz [f] pelo vetor v:
f(v) = [f] cdot v = -1 & 2 0 & 1 u v = -1 cdot u + 2 cdot v 0 cdot u + 1 cdot v = -u + 2v v

Passo 4

A equação que queremos resolver é f(v) = -v. Vamos igualar as duas expressões:
-u + 2v v = - u v = -u -v
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. -u + 2v = -u
  2. v = -v

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação primeiro:
v = -v
Somando v em ambos os lados:
v + v = 0 Rightarrow 2v = 0 Rightarrow v = 0

Passo 6

Agora que sabemos que v = 0, vamos substituir esse valor na primeira equação:
- u + 2 cdot 0 = -u Rightarrow -u = -u
Essa equação é sempre verdadeira, o que significa que não impõe nenhuma restrição adicional sobre u. Portanto, u pode ser qualquer número real.

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são todos os vetores da forma v = u 0 , onde u é qualquer número real.

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