Calcule o produto vetorial u times v para: u=(2,1,-1) e v=(1,-1,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o produto vetorial onde e . A matéria que vamos usar aqui é o produto vetorial de vetores no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar saber como montar a matriz determinante e calcular cada componente do vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial. Ele é dado pela fórmula:
u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Onde , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz com os componentes dos vetores u times v = i & j & k 2 & 1 & -1 1 & -1 & 3 e :

Passo 4

Para calcular o determinante dessa matriz, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos expandir pelo primeiro linha:
u times v = i cdot 1 & -1 -1 & 3 - j cdot 2 & -1 1 & 3 + k cdot 2 & 1 1 & -1

Passo 5

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. Para 1 & -1 -1 & 3 = (1)(3) - (-1)(-1) = 3 - 1 = 2 :
2 & -1 1 & 3 = (2)(3) - (-1)(1) = 6 + 1 = 7
  1. Para 2 & 1 1 & -1 = (2)(-1) - (1)(1) = -2 - 1 = -3 :
  1. Para :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na expressão original:
u times v = i(2) - j(7) + k(-3)

Passo 7

Finalmente, escrevemos o vetor resultante com suas componentes:
u times v = (2, -7, -3)

Resposta

O produto vetorial é .

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