Quais das seguintes transformações são lineares ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente identificar quais das transformações dadas são lineares. A transformação que vamos analisar é
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa função atende aos critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para todo vetores e . - Homogeneidade:
para todo vetor e para todo escalar .
Vamos testar essas propriedades para a transformação
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Vamos considerar dois vetores
e
.
Primeiro, somamos os vetores:
Agora, aplicamos a transformação:
Em seguida, aplicamos a transformação a cada vetor individualmente e somamos:
Como
, a propriedade da aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um vetor
e um escalar
.
Primeiro, multiplicamos o vetor pelo escalar:
Agora, aplicamos a transformação:
Em seguida, aplicamos a transformação ao vetor original e depois multiplicamos pelo escalar:
Como
, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
A transformação
é linear, pois satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade necessárias para uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Escreva a matriz natural associada a transformação linear :
Um operador linear no
é definida pela matriz
. Determine u e
, tal que :
Numa TL. f:
e
, calcule:
Numa TL. f:
e
, calcule: