Quais das seguintes transformações são lineares ? f(x, y, z)=(0,0, z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente identificar quais das transformações dadas são lineares. A transformação que vamos analisar é . Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa função atende aos critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para todo vetores e .
  2. Homogeneidade: para todo vetor e para todo escalar .
Vamos testar essas propriedades para a transformação .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos considerar dois vetores u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (0, 0, z1 + z2) .
Primeiro, somamos os vetores:
f(u) + f(v) = (0, 0, z1) + (0, 0, z2) = (0 + 0, 0 + 0, z1 + z2) = (0, 0, z1 + z2)
Agora, aplicamos a transformação:
Em seguida, aplicamos a transformação a cada vetor individualmente e somamos:
Como , a propriedade da aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um vetor cu = (c x, c y, c z) e um escalar f(cu) = f(c x, c y, c z) = (0, 0, c z) .
Primeiro, multiplicamos o vetor pelo escalar:
c f(u) = c (0, 0, z) = (0 times c, 0 times c, z times c) = (0, 0, c z)
Agora, aplicamos a transformação:
Em seguida, aplicamos a transformação ao vetor original e depois multiplicamos pelo escalar:
Como , a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

A transformação é linear, pois satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade necessárias para uma transformação linear.

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