Se u=(3,-1,-2), v=(2,4,-1) e w=(-1,0,1), determine: lang<= u times v, vrang<=;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço tridimensional: , e . A tarefa é determinar o produto interno (ou produto escalar) entre e , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Produto Vetorial ( ): É uma operação entre dois vetores que resulta em um terceiro vetor perpendicular aos dois primeiros.
  2. Produto Interno ( ): Também conhecido como produto escalar, é uma operação que resulta em um número real a partir de dois vetores, medindo, por exemplo, o ângulo entre eles.
Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial u times v = ( u2 v3 - u3 v2, ; u3 v1 - u1 v3, ; u1 v2 - u2 v1 ) . Para dois vetores u times v = ( (-1)(-1) - (-2)(4), ; (-2)(2) - (3)(-1), ; (3)(4) - (-1)(2) ) e , o produto vetorial é dado por:
Vamos aplicar isso aos vetores e :

Passo 3

Agora vamos calcular cada componente do vetor (-1)(-1) - (-2)(4) = 1 - (-8) = 1 + 8 = 9 :
  1. Primeira componente:
(-2)(2) - (3)(-1) = -4 - (-3) = -4 + 3 = -1
  1. Segunda componente:
(3)(4) - (-1)(2) = 12 - (-2) = 12 + 2 = 14
  1. Terceira componente:
u times v = (9, -1, 14)
Portanto, o produto vetorial é:

Passo 4

Agora que temos lang<= a, b rang<= = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 , vamos calcular o produto interno desse vetor com o vetor lang<= u times v, v rang<= = (9)(2) + (-1)(4) + (14)(-1) .
O produto interno entre dois vetores e é dado por:
Vamos aplicar isso aos vetores e :

Passo 5

Vamos calcular cada termo do produto interno:
  1. 18 + (-4) + (-14) = 18 - 4 - 14 = 0
Agora, somamos esses resultados:

Resposta

lang<= u times v, v rang<= = 0

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