Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos
por bola branca retirada e perdermos
por bola preta retirada.
d) Calcule o desvio padrão do lucro.
d) Calcule o desvio padrão do lucro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 pretas, totalizando 12 bolas. A gente vai retirar 3 bolas de uma vez. Cada bola branca que cair nos dá R$200, e cada preta faz a gente perder R$100. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade, especificamente combinações sem reposição, e para achar o desvio padrão, precisamos calcular a variância primeiro. Precisamos descobrir todas as possíveis combinações de bolas que podem cair e seus respectivos lucros.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as possíveis quantidades de bolas brancas que podem ser retiradas: pode ser 0, 1, 2 ou 3 bolas brancas. Para cada caso, vamos calcular o lucro.
- 0 bolas brancas e 3 pretas: Lucro =
- 1 bola branca e 2 pretas: Lucro =
- 2 bolas brancas e 1 preta: Lucro =
- 3 bolas brancas e 0 pretas: Lucro =
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários acontecer. Para isso, usamos combinações. A fórmula de combinação é:
Onde
é o total de itens e
é o número de itens que queremos escolher.
- Total de maneiras de escolher 3 bolas de 12:
Agora, calculamos para cada caso:
- 0 brancas e 3 pretas:
- 1 branca e 2 pretas:
- 2 brancas e 1 preta:
- 3 brancas e 0 pretas:
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada cenário dividindo o número de maneiras pelo total de combinações.
- 0 brancas:
- 1 branca:
- 2 brancas:
- 3 brancas:
Passo 5
Vamos calcular a expectativa (valor esperado) do lucro usando a fórmula:
Então, a expectativa do lucro é R$75.
Passo 6
Agora, vamos calcular a variância. Primeiro, precisamos calcular
:
Agora, a variância é:
Passo 7
Finalmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
O desvio padrão do lucro é aproximadamente R$231,89.