Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos R por bola branca retirada e perdermos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada.
d) Calcule o desvio padrão do lucro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 pretas, totalizando 12 bolas. A gente vai retirar 3 bolas de uma vez. Cada bola branca que cair nos dá R$200, e cada preta faz a gente perder R$100. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade, especificamente combinações sem reposição, e para achar o desvio padrão, precisamos calcular a variância primeiro. Precisamos descobrir todas as possíveis combinações de bolas que podem cair e seus respectivos lucros.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis quantidades de bolas brancas que podem ser retiradas: pode ser 0, 1, 2 ou 3 bolas brancas. Para cada caso, vamos calcular o lucro.
  • 0 bolas brancas e 3 pretas: Lucro =
  • 1 bola branca e 2 pretas: Lucro =
  • 2 bolas brancas e 1 preta: Lucro =
  • 3 bolas brancas e 0 pretas: Lucro =

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários acontecer. Para isso, usamos combinações. A fórmula de combinação é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Onde é o total de itens e é o número de itens que queremos escolher.
  • Total de maneiras de escolher 3 bolas de 12:
Agora, calculamos para cada caso:
  • 0 brancas e 3 pretas:
  • 1 branca e 2 pretas:
  • 2 brancas e 1 preta:
  • 3 brancas e 0 pretas:

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada cenário dividindo o número de maneiras pelo total de combinações.
  • 0 brancas:
  • 1 branca:
  • 2 brancas:
  • 3 brancas:

Passo 5

Vamos calcular a expectativa (valor esperado) do lucro usando a fórmula:
E(X) = sum (Lucro times Probabilidade)
E(X) = (-300) times 0,1591 + 0 times 0,4773 + 300 times 0,3182 + 600 times 0,0455
E(X) = -47,73 + 0 + 95,46 + 27,27 = 75
Então, a expectativa do lucro é R$75.

Passo 6

Agora, vamos calcular a variância. Primeiro, precisamos calcular E(X^2) = (-300)^2 times 0,1591 + 0^2 times 0,4773 + 300^2 times 0,3182 + 600^2 times 0,0455 :
E(X^2) = 90000 times 0,1591 + 0 + 90000 times 0,3182 + 360000 times 0,0455
E(X^2) = 14319 + 0 + 28638 + 16380 = 59337
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 59337 - 75^2 = 59337 - 5625 = 53712
Agora, a variância é:

Passo 7

Finalmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio Padrão = raiz53712 approx 231,89 ã

Resposta

O desvio padrão do lucro é aproximadamente R$231,89.

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