Um órgão do governo do estado está interessado em determinar padrões sobre o investimento em educação, por habitante, realizado pelas prefeituras. De um levantamento de dez cidades, foram obtidos os valores (codificados) da tabela abaixo:
Cidade A B C D E F G H I J
Investimento 20 16 14 8 19 15 14 16 19 18
Nesse caso, será considerado como investimento básico a média final das observações, calculada da seguinte maneira:
  1. Obtém-se uma média inicial.
  2. Eliminam-se do conjunto aquelas observações que forem superiores à média inicial mais duas vezes o desvio padrão, ou inferiores à média inicial menos duas vezes o desvio padrão.
  3. Calcula-se a média final com o novo conjunto de observações.
    Qual o investimento básico que você daria como resposta?
    Observação: O procedimento do item 2 tem a finalidade de eliminar do conjunto a cidade cujo investimento é muito diferente dos demais.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta os investimentos em educação, por habitante, de dez cidades diferentes: 20, 16, 14, 8, 19, 15, 14, 16, 19 e 18. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, especificamente o cálculo de média e desvio padrão. Precisamos calcular a média inicial desses investimentos e depois usar o desvio padrão para identificar e eliminar valores que são muito diferentes da média, ou seja, os chamados outliers.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média inicial dos investimentos. A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
Média Inicial = 20 + 16 + 14 + 8 + 19 + 15 + 14 + 16 + 19 + 1810 = 15910 = 15,9 é
Então, a média inicial é 15,9.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão, que nos mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Primeiro, calculamos a variância, que é a média das diferenças ao quadrado entre cada valor e a média.
Diferenças ao quadrado &= (20-15,9)^2 = 16,81 & (16-15,9)^2 = 0,01 & (14-15,9)^2 = 3,61 & (8-15,9)^2 = 62,41 & (19-15,9)^2 = 9,61 & (15-15,9)^2 = 0,81 & (14-15,9)^2 = 3,61 & (16-15,9)^2 = 0,01 & (19-15,9)^2 = 9,61 & (18-15,9)^2 = 4,41 ç
Somando todas essas diferenças:
16,81 + 0,01 + 3,61 + 62,41 + 9,61 + 0,81 + 3,61 + 0,01 + 9,61 + 4,41 = 110,9
Então, a variância é:
Variância = 110,910 = 11,09 â
E o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio Padrão = raiz11,09 approx 3,33 ã
Portanto, o desvio padrão é aproximadamente 3,33.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o procedimento do item 2 do enunciado: eliminar as observações que estão acima da média mais duas vezes o desvio padrão ou abaixo da média menos duas vezes o desvio padrão.
Calculando esses limites:
Limite Superior = 15,9 + 2 times 3,33 = 15,9 + 6,66 = 22,56
Limite Inferior = 15,9 - 2 times 3,33 = 15,9 - 6,66 = 9,24
Então, qualquer investimento acima de 22,56 ou abaixo de 9,24 será eliminado. Observando nossos dados:
20, 16, 14, 8, 19, 15, 14, 16, 19, 18
A única cidade com investimento abaixo de 9,24 é a cidade com investimento 8. Vamos removê-la.

Passo 5

Agora, vamos recalcular a média final com os dados restantes:
20, 16, 14, 19, 15, 14, 16, 19, 18
Somando esses valores:
20 + 16 + 14 + 19 + 15 + 14 + 16 + 19 + 18 = 151
Agora, dividimos pelo número de cidades restantes, que são 9:
Média Final = 1519 approx 16,78 é

Resposta

O investimento básico é de aproximadamente 16,78 unidades por habitante.

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