A origem do termo linear na força de arrasto sobre uma esfera se movimento em um fluido é a viscosidade do fluido. De acordo com a lei de Stokes, o arrasto viscoso sobre uma esfera é dado por
f lin =3 pi eta D v,
Em que eta é a viscosidade do fluido, D o diâmetro da esfera e v sua velocidade no fluido. Mostre que está expressão reproduz a forma f lin mostrada na aula, com b dado por beta D. Sabendo que a viscosidade do ar nas condições normais de temperatura e pressão (em inglês STP) eta=1,7 times 10^-5 N s / m^2 verifique o valor de beta mostrado em aula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a força de arrasto linear que age sobre uma esfera em movimento num fluido, que é causada pela viscosidade do fluido. A gente vai usar a Lei de Stokes, que nos dá a fórmula dessa força de arrasto:
flin = 3 pi eta D v
Aqui, é a viscosidade do fluido, o diâmetro da esfera, e a velocidade da esfera no fluido. Nosso objetivo é mostrar que essa expressão pode ser escrita na forma , onde . Além disso, vamos verificar o valor de usando a viscosidade do ar nas condições normais de temperatura e pressão (STP).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força de arrasto flin = b v é diretamente proporcional à velocidade flin = 3 pi eta D v da esfera. Isso significa que podemos escrever:
b = 3 pi eta D
Comparando com a fórmula de Stokes:
Perceba que ambas as expressões têm como um fator multiplicativo, então podemos identificar que:

Passo 3

Mas o enunciado quer que a gente escreva b = beta D como b = 3 pi eta D . Então vamos relacionar as duas expressões:
beta D = 3 pi eta D
E sabemos que:
beta = 3 pi eta
Então, igualando as duas:
Podemos cancelar o dos dois lados (desde que ):

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor de eta = 1,7 times 10^-5 , N cdot s / m^2 usando a viscosidade do ar nas condições normais de temperatura e pressão (STP), que é:
beta = 3 pi (1,7 times 10^-5)
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Vamos calcular esse valor:
beta = 3 times 3,1416 times 1,7 times 10^-5
beta approx 3 times 3,1416 times 1,7 times 10^-5
Primeiro, multiplica 3 por 3,1416:
3 times 3,1416 = 9,4248
Depois, multiplica por 1,7:
9,4248 times 1,7 approx 16,02216
Agora, inclui o beta approx 16,02216 times 10^-5 :
beta approx 1,602216 times 10^-4 , N cdot s / m

Resposta

Portanto, o valor de é aproximadamente .

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