A origem do termo quadrático na força de arrasto sobre um projétil em um fluido é a inércia do fluido que o projétil precisa empurrar. a) assumindo que o projétil tem uma área de seção transversal A (área normal à velocidade) e velocidade v, e que a densidade do fluido é rho, mostre que a taxa na qual o projétil desloca o fluido é rho A v. b) Considerando a hipótese simplificadora que todo o fluido é acelerado até a velocidade v do projétil, mostre que o força de arrasto sobre o projétil é rho A v^2. Certamente não é verdade que todo o fluido deslocado pelo projétil é acelerado até a velocidade do fluido, mas podemos supor que a força de arrasto tem a forma
f quad =kappa rho A v^2,
em que kappa é um número (adimensional) menor que 1, que depende da forma do projétil, com kappa pequeno para um corpo com frente afilada e maior para um corpo com frente plana. Para uma esfera o fator kappa=14. c) mostre que a equação acima reproduz a forma para f quad mostrada em aula, com c=gamma D^2. Dado que a densidade do ar nas CNTP é rho=1,29 kgm^-3 e que kappa=14 para uma esfera verifique o valor gamma dado em aula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou trata da força de arrasto quadrático em um fluido, que é importante quando um projétil se move através de um fluido como o ar. A gente vai precisar usar conceitos de física sobre forças de arrasto e algumas fórmulas matemáticas básicas. Vamos resolver as partes a), b) e c) passo a passo para entender como a força de arrasto é calculada.

Passo 2

Parte a): Queremos mostrar que a taxa na qual o projétil desloca o fluido é rho A v.
Primeiro, vamos entender o que isso significa. A taxa de deslocamento do fluido é basicamente quanto fluido está sendo empurrado pelo projétil por segundo. Para isso, precisamos considerar a densidade do fluido ( rho), a área frontal do projétil ( A) e a velocidade do projétil ( v).
A área frontal A é a área normal à direção da velocidade, ou seja, a área que o projétil “aponta” enquanto se move. Multiplicando essa área pela velocidade v, temos o volume de fluido deslocado por segundo, que é A times v. Para obter a massa de fluido deslocada por segundo, multiplicamos pelo rho, a densidade do fluido.
Então, a taxa de deslocamento do fluido é:
Taxa = rho times A times v = rho A v

Passo 3

Parte b): Agora, queremos mostrar que a força de arrasto sobre o projétil é rho A v^2, assumindo que todo o fluido é acelerado até a velocidade v do projétil.
A força de arrasto pode ser entendida como a força necessária para acelerar o fluido que está sendo deslocado pelo projétil. A energia ou força necessária para isso depende da massa do fluido e da mudança de velocidade que ele sofre.
A força é dada pela derivada do momento linear. Como a massa de fluido que está sendo acelerada por segundo é rho A v, e a velocidade é v, a força de arrasto fquad é:
fquad = rho A v times v = rho A v^2
Isso mostra que a força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade, daí o termo “quadrático”.

Passo 4

Parte c): Queremos mostrar que a equação fquad = kappa rho A v^2 reproduz a forma apresentada em aula, onde c = gamma D^2. Além disso, vamos verificar o valor de gamma para uma esfera.
Primeiro, comparando as duas equações:
fquad = kappa rho A v^2 e fquad = gamma rho D^2 v^2
Observamos que:
kappa A = gamma D^2
Para uma esfera, a área frontal A é:
A = pi (D2)^2 = pi D^24
Substituindo na equação:
kappa times pi D^24 = gamma D^2 Rightarrow gamma = kappa pi4
Dado que para uma esfera kappa = 14, substituindo:
gamma = 14 times pi4 = pi16

Resposta

A força de arrasto sobre uma esfera é dada por fquad = pi16 rho D^2 v^2, confirmando o valor de gamma = pi16.

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