A origem do termo quadrático na força de arrasto sobre um projétil em um fluido é a inércia do fluido que o projétil precisa empurrar. a) assumindo que o projétil tem uma área de seção transversal A (área normal à velocidade) e velocidade
, e que a densidade do fluido é
, mostre que a taxa na qual o projétil desloca o fluido é
. b) Considerando a hipótese simplificadora que todo o fluido é acelerado até a velocidade
do projétil, mostre que o força de arrasto sobre o projétil é
. Certamente não é verdade que todo o fluido deslocado pelo projétil é acelerado até a velocidade do fluido, mas podemos supor que a força de arrasto tem a forma
,
em que
é um número (adimensional) menor que 1, que depende da forma do projétil, com
pequeno para um corpo com frente afilada e maior para um corpo com frente plana. Para uma esfera o fator
. c) mostre que a equação acima reproduz a forma para
mostrada em aula, com
. Dado que a densidade do ar nas CNTP é
e que
para uma esfera verifique o valor
dado em aula.
em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou trata da força de arrasto quadrático em um fluido, que é importante quando um projétil se move através de um fluido como o ar. A gente vai precisar usar conceitos de física sobre forças de arrasto e algumas fórmulas matemáticas básicas. Vamos resolver as partes a), b) e c) passo a passo para entender como a força de arrasto é calculada.
Passo 2
Parte a): Queremos mostrar que a taxa na qual o projétil desloca o fluido é
.
Primeiro, vamos entender o que isso significa. A taxa de deslocamento do fluido é basicamente quanto fluido está sendo empurrado pelo projétil por segundo. Para isso, precisamos considerar a densidade do fluido (
), a área frontal do projétil (
) e a velocidade do projétil (
).
A área frontal
é a área normal à direção da velocidade, ou seja, a área que o projétil “aponta” enquanto se move. Multiplicando essa área pela velocidade
, temos o volume de fluido deslocado por segundo, que é
. Para obter a massa de fluido deslocada por segundo, multiplicamos pelo
, a densidade do fluido.
Então, a taxa de deslocamento do fluido é:
Passo 3
Parte b): Agora, queremos mostrar que a força de arrasto sobre o projétil é
, assumindo que todo o fluido é acelerado até a velocidade
do projétil.
A força de arrasto pode ser entendida como a força necessária para acelerar o fluido que está sendo deslocado pelo projétil. A energia ou força necessária para isso depende da massa do fluido e da mudança de velocidade que ele sofre.
A força é dada pela derivada do momento linear. Como a massa de fluido que está sendo acelerada por segundo é
, e a velocidade é
, a força de arrasto
é:
Isso mostra que a força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade, daí o termo “quadrático”.
Passo 4
Parte c): Queremos mostrar que a equação
reproduz a forma apresentada em aula, onde
. Além disso, vamos verificar o valor de
para uma esfera.
Primeiro, comparando as duas equações:
Observamos que:
Para uma esfera, a área frontal
é:
Substituindo na equação:
Dado que para uma esfera
, substituindo:
Resposta
A força de arrasto sobre uma esfera é dada por
, confirmando o valor de
.