Ortonormalize as bases de R^2 e de abaixo pelo processo de Gram-Schmidt:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você quer ortonormalizar as bases de R^2 e de R^3 usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos transformar um conjunto de vetores que não necessariamente são perpendiculares e com normas diferentes, em um conjunto de vetores que são todos perpendiculares entre si (ortogonais) e que tenham norma igual a 1 (normalizados). Para isso, vamos precisar entender como o processo de Gram-Schmidt funciona e aplicá-lo passo a passo nos vetores das bases que você tem.

Passo 2

Vamos começar com R^2. Como você não especificou quais são os vetores da base, vou usar um exemplo comum para ilustrar o processo. Suponha que a base inicial seja formada pelos vetores:
v1 = 1 1 , v2 = 1 0
Etapa 1: O primeiro passo do Gram-Schmidt é simplesmente manter o primeiro vetor da base original como está, já que ainda não temos outro vetor para comparar. Porém, vamos normalizá-lo para garantir que ele tenha norma 1.
Calculamos a norma de v1:
|v1| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Então, o primeiro vetor ortonormalizado é:
e1 = v1|v1| = 1raiz2 1 1
Etapa 2: Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor v2 em relação a e1. Isso significa remover a componente de v2 que está na direção de e1.
Primeiro, calculamos a projeção de v2 em e1:
proje1 v2 = ( v2 cdot e1e1 cdot e1 ) e1 = ( 1 cdot 1raiz2 + 0 cdot 1raiz21 ) e1 = 1raiz2 cdot 1raiz2 1 1 = 12 1 1
Agora, subtraímos essa projeção de v2 para obter o vetor ortogonal:
u2 = v2 - proje1 v2 = 1 0 - 12 12 = 12 -12
Finalmente, normalizamos u2:
|u2| = raiz(12)^2 + (-12)^2 = raiz14 + 14 = raiz12 = raiz22
Então, o segundo vetor ortonormalizado é:
e2 = u2|u2| = 12raiz22 1 -1 = 1raiz2 1 -1

Passo 3

Agora, vamos para R^3. Novamente, como os vetores da base original não foram especificados, vou usar um exemplo para ilustrar o processo. Suponha que a base inicial seja formada pelos vetores:
v1 = 1 1 0 , v2 = 1 0 1 , v3 = 0 1 1
Etapa 1: Mantemos v1 como primeiro vetor ortonormalizado após normalizá-lo.
Calculamos a norma de v1:
|v1| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
Então,
e1 = v1|v1| = 1raiz2 1 1 0
Etapa 2: Orthogonalizamos v2 em relação a e1.
Calculamos a projeção de v2 em e1:
proje1 v2 = ( v2 cdot e1e1 cdot e1 ) e1 = ( 1 cdot 1raiz2 + 0 cdot 1raiz2 + 1 cdot 01 ) e1 = 1raiz2 cdot 1raiz2 1 1 0 = 12 1 1 0
Então,
u2 = v2 - proje1 v2 = 1 0 1 - 12 12 0 = 12 -12 1
Normalizamos u2:
|u2| = raiz(12)^2 + (-12)^2 + 1^2 = raiz14 + 14 + 1 = raiz32 = raiz62
Então,
e2 = u2|u2| = 1raiz62 12 -12 1 = 2raiz6 12 -12 1 = 1raiz6 1 -1 2
Etapa 3: Orthogonalizamos v3 em relação a e1 e e2.
Primeiro, projetamos v3 em e1:
proje1 v3 = ( v3 cdot e1e1 cdot e1 ) e1 = ( 0 cdot 1raiz2 + 1 cdot 1raiz2 + 1 cdot 01 ) e1 = 1raiz2 cdot 1raiz2 1 1 0 = 12 1 1 0
Depois, projetamos v3 em e2:
proje2 v3 = ( v3 cdot e2e2 cdot e2 ) e2 = ( 0 cdot 1raiz6 + 1 cdot (-1raiz6) + 1 cdot 2raiz61 ) e2 = ( -1 + 2raiz6 ) e2 = 1raiz6 e2
Então,
u3 = v3 - proje1 v3 - proje2 v3 = 0 1 1 - 12 12 0 - 1raiz6 cdot 1raiz6 1 -1 2
Simplificando:
u3 = 0 - 12 - 16 1 - 12 + 16 1 - 0 - 26 = -23 23 23
Normalizamos u3:
|u3| = raiz(-23)^2 + (23)^2 + (23)^2 = raiz49 + 49 + 49 = raiz129 = raiz43 = 2raiz3
Então,
e3 = u3|u3| = 12raiz3 -23 23 23 = raiz32 -23 23 23 = 1raiz3 -1 1 1

Resposta

A base ortonormalizada de R^2 pelo processo de Gram-Schmidt é:
e1 = 1raiz2 1 1 , e2 = 1raiz2 1 -1
E a base ortonormalizada de R^3 é:
e1 = 1raiz2 1 1 0 , e2 = 1raiz6 1 -1 2 , e3 = 1raiz3 -1 1 1
Assim, aplicando o processo de Gram-Schmidt, transformamos as bases originais em bases ortonormais, onde todos os vetores são perpendiculares entre si e possuem norma igual a 1.

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