Ortonormalize as bases de e de abaixo pelo processo de Gram-Schmidt:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você quer ortonormalizar as bases de e de usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos transformar um conjunto de vetores que não necessariamente são perpendiculares e com normas diferentes, em um conjunto de vetores que são todos perpendiculares entre si (ortogonais) e que tenham norma igual a 1 (normalizados). Para isso, vamos precisar entender como o processo de Gram-Schmidt funciona e aplicá-lo passo a passo nos vetores das bases que você tem.
Passo 2
Vamos começar com . Como você não especificou quais são os vetores da base, vou usar um exemplo comum para ilustrar o processo. Suponha que a base inicial seja formada pelos vetores:
Etapa 1: O primeiro passo do Gram-Schmidt é simplesmente manter o primeiro vetor da base original como está, já que ainda não temos outro vetor para comparar. Porém, vamos normalizá-lo para garantir que ele tenha norma 1.
Calculamos a norma de :
Então, o primeiro vetor ortonormalizado é:
Etapa 2: Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor em relação a . Isso significa remover a componente de que está na direção de .
Primeiro, calculamos a projeção de em :
Agora, subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal:
Finalmente, normalizamos :
Então, o segundo vetor ortonormalizado é:
Passo 3
Agora, vamos para . Novamente, como os vetores da base original não foram especificados, vou usar um exemplo para ilustrar o processo. Suponha que a base inicial seja formada pelos vetores:
Etapa 1: Mantemos como primeiro vetor ortonormalizado após normalizá-lo.
Calculamos a norma de :
Então,
Etapa 2: Orthogonalizamos em relação a .
Calculamos a projeção de em :
Então,
Normalizamos :
Então,
Etapa 3: Orthogonalizamos em relação a e .
Primeiro, projetamos em :
Depois, projetamos em :
Então,
Simplificando:
Normalizamos :
Então,
Resposta
A base ortonormalizada de pelo processo de Gram-Schmidt é:
E a base ortonormalizada de é:
Assim, aplicando o processo de Gram-Schmidt, transformamos as bases originais em bases ortonormais, onde todos os vetores são perpendiculares entre si e possuem norma igual a 1.