10 x+8 y-7 z & =1 5 x+3 y-8 z & =19 7 x-9 y+4 z & =-15

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações lineares com três incógnitas: , e . O objetivo é encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as três equações simultaneamente. Para resolver esse tipo de problema, vamos usar o método de eliminação, que nos ajuda a reduzir o sistema a equações mais simples e, eventualmente, encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de forma mais clara:
10x + 8y - 7z = 1 (Equação 1) 5x + 3y - 8z = 19 (Equação 2) 7x - 9y + 4z = -15 (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando a variável usando as Equações 1 e 2.

Passo 3

Para eliminar 10x + 8y - 7z = 1 (Equação 1) (5x + 3y - 8z = 19) times 2 Rightarrow 10x + 6y - 16z = 38 (Equação 2') , precisamos que os coeficientes de (10x + 8y - 7z) - (10x + 6y - 16z) = 1 - 38 10x + 8y - 7z - 10x - 6y + 16z = -37 (8y - 6y) + (-7z + 16z) = -37 2y + 9z = -37 (Equação 4) sejam iguais nas duas equações. Observamos que a Equação 1 tem e a Equação 2 tem . Podemos multiplicar a Equação 2 por 2 para que ambas tenham :
çãçã
Agora, subtraímos a Equação 2’ da Equação 1 para eliminar :
çã

Passo 4

Agora, temos uma nova equação (Equação 4) com apenas duas variáveis: 10x + 8y - 7z = 1 (Equação 1) 7x - 9y + 4z = -15 (Equação 3) e 107 times (7x - 9y + 4z) = 107 times (-15) 10x - 907y + 407z = -1507 (Equação 5) . Vamos repetir o processo para eliminar (10x + 8y - 7z) - (10x - 907y + 407z) = 1 - (-1507) 10x - 10x + 8y + 907y - 7z - 407z = 1 + 1507 (8 + 907)y + (-7 - 407)z = 77 + 1507 1467y - 897z = 1577 (Equação 6) usando as Equações 1 e 3.
A Equação 1 tem e a Equação 3 tem . Vamos multiplicar a Equação 3 por para igualar os coeficientes de :
çãçã
Multiplicando a Equação 3 por :
çã
Agora, subtraímos a Equação 5 da Equação 1 para eliminar :
çã

Passo 5

Agora, temos duas equações com duas variáveis:
2y + 9z = -37 (Equação 4) 1467y - 897z = 1577 (Equação 6) çãçã
Vamos simplificar a Equação 6 multiplicando todos os termos por 7 para eliminar os denominadores:
146y - 89z = 157 (Equação 6') çã
Agora, vamos resolver esse sistema de duas equações. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou optar pela eliminação novamente para encontrar uma relação entre 146 times (2y + 9z) = 146 times (-37) 292y + 1314z = -5402 (Equação 7) e (292y + 1314z) - (146y - 89z) = -5402 - 157 292y - 146y + 1314z + 89z = -5559 146y + 1403z = -5559 (Equação 8) .
Multiplicamos a Equação 4 por 146 para alinhar os coeficientes de :
çã
Agora, subtraímos a Equação 6’ da Equação 7:
çã

Passo 6

Agora, temos a Equação 8:
146y + 1403z = -5559
Vamos resolver para uma das variáveis. Vamos isolar 146y = -5559 - 1403z y = -5559 - 1403z146 :
y = -38.12 - 9.62z
Simplificando a fração:
2y + approx 19.26z = -76.2
No entanto, para facilitar, vamos buscar uma relação inteira. Observando que 1403 e 146 têm um fator comum, podemos simplificar:
Dividindo ambos os lados por 73:
Neste ponto, percebemos que os números não estão dando inteiros, indicando que podemos ter cometido um erro nos c��lculos anteriores. Vamos revisar os passos para identificar onde ocorreu.

Passo 7

Após revisar, constatamos que houve um erro na multiplicação ao alinhar os coeficientes. Vamos voltar à Equação 4 e Equação 6’ para resolver de forma mais simples.
Temos:
2y + 9z = -37 (Equação 4) 146y - 89z = 157 (Equação 6') çãçã
Vamos multiplicar a Equação 4 por 73 para alinhar os coeficientes de 73 times (2y + 9z) = 73 times (-37) 146y + 657z = -2701 (Equação 9) :
(146y + 657z) - (146y - 89z) = -2701 - 157 146y - 146y + 657z + 89z = -2858 746z = -2858 z = -2858746 z = -3.832 (aproximadamente) çã
Agora, subtraímos a Equação 6’ da Equação 9:

Passo 8

Agora que encontramos 2y + 9(-3.832) = -37 2y - 34.488 = -37 2y = -37 + 34.488 2y = -2.512 y = -1.256 , podemos substituir esse valor na Equação 4 para encontrar :

Passo 9

Com os valores de 5x + 3(-1.256) - 8(-3.832) = 19 5x - 3.768 + 30.656 = 19 5x + 26.888 = 19 5x = 19 - 26.888 5x = -7.888 x = -7.8885 x = -1.5776 e encontrados, vamos substituí-los na Equação 2 para encontrar :

Resposta

As soluções aproximadas para o sistema são:
x approx -1.578, y approx -1.256, z approx -3.832

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