Segundo um observador
, que se desloca em relação a um outro observador
com velocidade
, dois eventos separados por uma distância de 550 m ocorreram simultaneamente. Determine, para o observador
, a distância e a diferença de tempo de ocorrência entre os dois eventos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de relatividade especial juntos! O enunciado diz que para um observador
, que está se movendo em relação a outro observador
com uma velocidade de
, dois eventos que estão separados por 550 metros aconteceram ao mesmo tempo. Nosso objetivo é descobrir, para o observador
, qual é a distância entre esses dois eventos e qual é a diferença de tempo entre eles.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que quando temos dois observadores em movimento relativo, as medidas de tempo e distância podem variar entre eles. Isso é devido aos efeitos previstos pela teoria da relatividade especial de Einstein, como a dilatação do tempo e a contração do comprimento.
Passo 3
Vamos começar calculando a contração do comprimento. A contração do comprimento ocorre quando o objeto está se movendo na direção da velocidade relativa. A fórmula para a contração do comprimento é:
onde:
-
é o comprimento medido pelo observador em repouso ( ), -
é o comprimento próprio, medido pelo observador em movimento ( ), -
é a velocidade relativa entre os observadores, -
é a velocidade da luz.
Passo 4
Substituindo os valores fornecidos no problema:
-
metros, -
.
Primeiro, calculamos
:
Então,
Calculando a raiz quadrada:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença de tempo entre os eventos para o observador
. Essa diferença de tempo pode ser encontrada usando a fórmula da relatividade da simultaneidade:
onde:
-
é a diferença de tempo entre os eventos para o observador , -
é a velocidade relativa, -
é a distância entre os eventos no referencial , -
é a velocidade da luz.
Passo 6
Substituindo os valores:
Sabemos que
m/s, então:
Resposta
Para o observador
, a distância entre os dois eventos é aproximadamente 504,07 metros e a diferença de tempo entre eles é de aproximadamente
segundos.