Um oscilador horizontal amortecido de massa
e frequência própria
move-se sob ação de uma força externa
, partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial
. Dado que a solução para tal sistema é:
, onde
e
são constantes e
,
e
. (a) Descreva o que você entente sobre o fenômeno de ressonância e como ele pode ser utilizado na prática. (b) Durante o regime estacionário, na ressonância, quais são a amplitude do movimento. © Qual dos dois regimes é influenciado pelas condições iniciais? Explique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um exercício sobre um oscilador horizontal amortecido que está sendo perturbado por uma força externa. O assunto principal envolve o fenômeno da ressonância em sistemas oscilatórios. Para resolver as questões, vamos precisar entender como a ressonância funciona, como determinar a amplitude em ressonância no regime estacionário e identificar qual regime é afetado pelas condições iniciais.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Descrever o que é o fenômeno de ressonância e como ele pode ser usado na prática.
A ressonância ocorre quando a frequência da força externa aplicada a um sistema oscilatório coincide com a frequência natural do sistema. Nessa condição, a amplitude das oscilações atinge um valor máximo porque a energia fornecida pela força externa é absorvida de forma eficiente pelo sistema. É como quando você puxa uma criança no balanço no ritmo certo, fazendo com que ela vá cada vez mais alto.
Na prática, a ressonância é utilizada em diversos campos. Por exemplo:
- Mecânica: Pontes e edifícios são projetados para evitar frequências ressonantes que poderiam causar danos estruturais.
- Eletrônica: Circuitos ressonantes filtram sinais específicos de frequência.
- Medicina: Máquinas de ressonância magnética (MRI) utilizam princípios de ressonância para criar imagens detalhadas do corpo.
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): Determinar a amplitude do movimento durante o regime estacionário na ressonância.
No regime estacionário, a solução do movimento está dominada pelo termo forçado, que é a parte que responde à força externa. A amplitude máxima ocorre quando estamos na ressonância, ou seja, quando a frequência externa ωe é igual à frequência natural do sistema ω0.
A expressão para a amplitude A(ωe) é dada por:
Na ressonância, ωe = ω0. Substituindo na expressão:
Passo 4
Vamos para a parte ©: Identificar qual dos dois regimes é influenciado pelas condições iniciais e explicar.
Existem dois regimes na solução do movimento:
- Regime forçado ou estacionário: Depende da força externa e é representado pelo termo A(ωe) sen(ωe t + φ(ωe)).
- Regime livre ou transitório: Depende das condições iniciais e decai exponencialmente com o tempo, representado pelo termo B e^{-γ t/2} cos(ω t + φ0).
Portanto, é o regime transitório que é influenciado pelas condições iniciais, como a posição e a velocidade iniciais do oscilador. Esse termo decai ao longo do tempo devido ao amortecimento, deixando apenas o movimento estacionário forçado.
Resposta
(a) A ressonância é quando a frequência da força externa coincide com a frequência natural do sistema, aumentando a amplitude das oscilações. Na prática, é usada em engenharia, eletrônica e medicina para otimizar ou evitar certos comportamentos.
(b) No regime estacionário na ressonância, a amplitude do movimento é
.
© O regime transitório é influenciado pelas condições iniciais, já que depende das condições iniciais de posição e velocidade e decai com o tempo devido ao amortecimento.