Um oscilador horizontal amortecido de massa m e frequência própria omega0 move-se sob ação de uma força externa F=F0 sen(omegae t), ddotx+omega0 ^2 x=-dotx+F0 sen(omegae t), partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial 2 m / s. Dado que a solução para tal sistema é: x(t)=A(omegae) sen(omegae t+varphi(omegae))+B e^-gamma2 t cos (omega t+varphi0), onde B e varphi0 são constantes e omega^2=omega0 ^2-gamma^24, A(omegae)=F0m raiz(omega0^2-omegae ^2+gamma^2 omega0^2 e varphi(omegae)=-tg^-1[lambda omegaeomega0 ^2-omegae ^2]. (a) Descreva o que você entente sobre o fenômeno de ressonância e como ele pode ser utilizado na prática. (b) Durante o regime estacionário, na ressonância, quais são a amplitude do movimento. © Qual dos dois regimes é influenciado pelas condições iniciais? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um exercício sobre um oscilador horizontal amortecido que está sendo perturbado por uma força externa. O assunto principal envolve o fenômeno da ressonância em sistemas oscilatórios. Para resolver as questões, vamos precisar entender como a ressonância funciona, como determinar a amplitude em ressonância no regime estacionário e identificar qual regime é afetado pelas condições iniciais.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Descrever o que é o fenômeno de ressonância e como ele pode ser usado na prática.
A ressonância ocorre quando a frequência da força externa aplicada a um sistema oscilatório coincide com a frequência natural do sistema. Nessa condição, a amplitude das oscilações atinge um valor máximo porque a energia fornecida pela força externa é absorvida de forma eficiente pelo sistema. É como quando você puxa uma criança no balanço no ritmo certo, fazendo com que ela vá cada vez mais alto.
Na prática, a ressonância é utilizada em diversos campos. Por exemplo:
  • Mecânica: Pontes e edifícios são projetados para evitar frequências ressonantes que poderiam causar danos estruturais.
  • Eletrônica: Circuitos ressonantes filtram sinais específicos de frequência.
  • Medicina: Máquinas de ressonância magnética (MRI) utilizam princípios de ressonância para criar imagens detalhadas do corpo.

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): Determinar a amplitude do movimento durante o regime estacionário na ressonância.
No regime estacionário, a solução do movimento está dominada pelo termo forçado, que é a parte que responde à força externa. A amplitude máxima ocorre quando estamos na ressonância, ou seja, quando a frequência externa ωe é igual à frequência natural do sistema ω0.
A expressão para a amplitude A(ωe) é dada por:
A(omegae) = F0m raiz(omega0^2 - omegae^2)^2 + (gamma omegae)^2
Na ressonância, ωe = ω0. Substituindo na expressão:
A(omega0) = F0m raiz(ω0^2 - ω0^2)^2 + (γ ω0)^2 = F0m gamma ω0

Passo 4

Vamos para a parte ©: Identificar qual dos dois regimes é influenciado pelas condições iniciais e explicar.
Existem dois regimes na solução do movimento:
  1. Regime forçado ou estacionário: Depende da força externa e é representado pelo termo A(ωe) sen(ωe t + φ(ωe)).
  2. Regime livre ou transitório: Depende das condições iniciais e decai exponencialmente com o tempo, representado pelo termo B e^{-γ t/2} cos(ω t + φ0).
Portanto, é o regime transitório que é influenciado pelas condições iniciais, como a posição e a velocidade iniciais do oscilador. Esse termo decai ao longo do tempo devido ao amortecimento, deixando apenas o movimento estacionário forçado.

Resposta

(a) A ressonância é quando a frequência da força externa coincide com a frequência natural do sistema, aumentando a amplitude das oscilações. Na prática, é usada em engenharia, eletrônica e medicina para otimizar ou evitar certos comportamentos.
(b) No regime estacionário na ressonância, a amplitude do movimento é .
© O regime transitório é influenciado pelas condições iniciais, já que depende das condições iniciais de posição e velocidade e decai com o tempo devido ao amortecimento.

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b. 8 Ne 60 Hz
c. 1600 Ne 40 Hz
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