Você deseja construir um contrabaixo com uma corda de 5,00 m de comprimento entre os dois pontos fixos. Para isso, você adquire uma corda, com densidade linear de 40,0 g / m, e a afina a uma frequência fundamental igual a 20,0 Hz (a menor frequência audivel pelo ser humano). Quais são, respectivamente, a tensão na corda, e a frequência para o segundo harmônico?
a. 1600 Ne 60 Hz
b. 8 Ne 60 Hz
c. 1600 Ne 40 Hz
d. 8 Ne 40 Hz

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um contrabaixo com uma corda de 5 metros de comprimento fixada em dois pontos. A densidade linear da corda é de 40,0 gramas por metro (que vamos converter para kg/m para facilitar) e a frequência fundamental é 20,0 Hz. Precisamos encontrar:
  1. A tensão na corda.
  2. A frequência do segundo harmônico.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas, especificamente as fórmulas para frequência e tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a densidade linear para kg/m:
mu = 40,0 , g/m = 0,040 , kg/m

Passo 3

A frequência fundamental de uma corda fixa nas duas extremidades é dada por:
f1 = 12L raizTmu
Onde:
  • é a frequência fundamental,
  • é o comprimento da corda,
  • é a tensão na corda,
  • é a densidade linear.
Queremos encontrar , então vamos isolar na fórmula.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2L f1 = raizTmu :
(2L f1)^2 = Tmu
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Isolando T = mu (2L f1)^2 :
mu = 0,040 , kg/m, L = 5,00 , m, f1 = 20,0 , Hz
Vamos substituir os valores conhecidos:

Passo 6

Calculando:
2L f1 = 2 times 5,00 , m times 20,0 , Hz = 200 , m/s
T = 0,040 , kg/m times (200 , m/s)^2 = 0,040 times 40000 = 1600 , N

Passo 7

Agora, para encontrar a frequência do segundo harmônico ( fn = n f1 ), sabemos que para harmônicos em cordas fixas:
Onde é o número do harmônico. Para o segundo harmônico, .

Passo 8

Calculando:
f2 = 2 times 20,0 , Hz = 40,0 , Hz

Resposta

A tensão na corda é de 1600 N e a frequência do segundo harmônico é de 40 Hz. Portanto, a alternativa correta é a c. 1600 Ne 40 Hz.

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