Outras equações de estados para gases reais têm sido desenvolvidas a fim de estudar melhor seu comportamento. Para as equações abaixo, avalie a seguinte derivada: (partial ppartial T)V. (2,0 pontos) Equação de Berthelot
p=R TV-b-aT V^2

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que usa a Equação de Berthelot para gases reais, que é uma forma de descrever como a pressão ( p) de um gás depende da temperatura ( T) e do volume ( V). A equação dada é:
p = R TV - b - aT V^2
O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada parcial de p em relação a T, mantendo o volume V constante, ou seja, calcular (partial ppartial T)V.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa derivada parcial. Quando a gente tem uma função de várias variáveis, como p(T, V), a derivada parcial em relação a uma variável (aqui, T) mede como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes (nesse caso, V).

Passo 3

Agora, vamos diferenciar a equação de Berthelot em relação a T, tratando V como constante.
A equação é:
p = R TV - b - aT V^2
Vamos diferenciar termo por termo.

Passo 4

Primeiro termo: R TV - b
Aqui, R e V - b são constantes em relação a T. Então, a derivada de R T em relação a T é simplesmente R. Portanto:
partialpartial T ( R TV - b ) = RV - b

Passo 5

Segundo termo: - aT V^2
Aqui, a e V^2 são constantes, mas temos T no denominador. Podemos reescrever como -a V^-2 T^-1. A derivada de T^-1 em relação a T é -T^-2. Então:
partialpartial T ( - aT V^2 ) = -a V^-2 cdot (-T^-2) = aT^2 V^2

Passo 6

Agora, juntando as derivadas dos dois termos:
(partial ppartial T)V = RV - b + aT^2 V^2

Resposta

A derivada parcial de p em relação a T, mantendo V constante, é:
(partial ppartial T)V = RV - b + aT^2 V^2

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