Se
e
, determine o valor de
no caso de:
a) A e B serem mutuamente exclusivos;
b) A e B serem independentes.
a) A e B serem mutuamente exclusivos;
b) A e B serem independentes.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos duas probabilidades dadas:
-
: A probabilidade de ocorrer pelo menos um dos eventos A ou B. -
: A probabilidade de ocorrer o evento A. -
: A probabilidade de ocorrer o evento B, que precisamos encontrar.
Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver os dois casos apresentados:
a) Quando os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
b) Quando os eventos A e B são independentes.
a) Quando os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
b) Quando os eventos A e B são independentes.
Passo 2
Caso a: Eventos A e B são mutuamente exclusivos
Quando dois eventos são mutuamente exclusivos, eles não podem ocorrer ao mesmo tempo. Isso significa que a interseção entre A e B é zero, ou seja,
.
A fórmula para a união de dois eventos é:
Como
para eventos mutuamente exclusivos, a fórmula simplifica para:
Sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Agora, resolvemos para
:
Passo 3
Caso b: Eventos A e B são independentes
Quando dois eventos são independentes, a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Para eventos independentes, a probabilidade da interseção é o produto das probabilidades individuais:
A fórmula da união de dois eventos permanece:
Substituindo
:
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
a)
b)
b)
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