Se P(A cup B)=0,8 ; P(A)=0,5 e P(B)=x, determine o valor de x no caso de:
a) A e B serem mutuamente exclusivos;
b) A e B serem independentes.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos duas probabilidades dadas:
  • : A probabilidade de ocorrer pelo menos um dos eventos A ou B.
  • : A probabilidade de ocorrer o evento A.
  • : A probabilidade de ocorrer o evento B, que precisamos encontrar.
Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver os dois casos apresentados:
a) Quando os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
b) Quando os eventos A e B são independentes.

Passo 2

Caso a: Eventos A e B são mutuamente exclusivos
Quando dois eventos são mutuamente exclusivos, eles não podem ocorrer ao mesmo tempo. Isso significa que a interseção entre A e B é zero, ou seja, P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B) .
A fórmula para a união de dois eventos é:
P(A cup B) = P(A) + P(B)
Como 0,8 = 0,5 + x para eventos mutuamente exclusivos, a fórmula simplifica para:
x = 0,8 - 0,5
Sabemos que x = 0,3 e . Vamos substituir esses valores na fórmula:
Agora, resolvemos para :

Passo 3

Caso b: Eventos A e B são independentes
Quando dois eventos são independentes, a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Para eventos independentes, a probabilidade da interseção é o produto das probabilidades individuais:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
A fórmula da união de dois eventos permanece:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Substituindo 0,8 = 0,5 + x - (0,5 times x) :
0,8 = 0,5 + x - 0,5x
Agora, vamos resolver para 0,8 - 0,5 = x - 0,5x :
0,3 = 0,5x
x = 0,30,5
x = 0,6

Resposta

a)
b)

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