Se é o polinômio característico de um operador linear, quais os polinômios podem ser o seu minimal?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um polinômio característico de um operador linear. O que a gente precisa descobrir são os possíveis polinômios mínimos desse operador. Para isso, vamos precisar saber sobre polinômios característicos e mínimos, e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de um operador linear contém todas as raízes (ou autovalores) do operador, com suas respectivas multiplicidades. Nesse caso, as raízes são com multiplicidade 3, com multiplicidade 2, e com multiplicidade 1.
Passo 3
Agora, o polinômio mínimo também tem essas mesmas raízes, mas as multiplicidades no polinômio mínimo são menores ou iguais às multiplicidades no polinômio característico. Além disso, no polinômio mínimo, cada fator linear deve aparecer pelo menos uma vez.
Passo 4
Vamos olhar cada fator individualmente:
Para no característico, no mínimo o pode aparecer com expoente 1, 2 ou 3.
Para no característico, no mínimo o pode aparecer com expoente 1 ou 2.
Para , como só tem multiplicidade 1 no característico, no mínimo ele aparece com expoente 1.
Passo 5
Então, para montar os polinômios mínimos, combinamos todas as possibilidades dos expoentes: