Verifique se a reta r e o plano pi são paralelos, ou se r subset pi, ou se existe um ponto P tal que r cap pi=P, onde
r:lll x= & -2 & +t y & = & +t z= & 1 & -2 t pi:-3 x+y-z=10

Passo 1

Vamos analisar o problema que você me enviou. Temos uma reta e um plano , e precisamos descobrir se:
  1. A reta é paralela ao plano.
  2. A reta está completamente contida no plano.
  3. A reta corta o plano em exatamente um ponto.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores diretores de retas, vetores normais de planos e as condições de paralelismo e interseção entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta r: x = -2 + t y = t z = 1 - 2t e o vetor normal do plano d = 1 1 -2 .
A reta pi: -3x + y - z = 10 é dada por:
n = -3 1 -1
O vetor diretor da reta é aquele que multiplica o parâmetro . Então, o vetor diretor é:
O plano é dado pela equação:
O vetor normal do plano é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a reta d cdot n = (1)(-3) + (1)(1) + (-2)(-1) = -3 + 1 + 2 = 0 é paralela ao plano . Para isso, precisamos saber se o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano .
Calculamos o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais, o que significa que a reta é paralela ao plano .

Passo 4

Mesmo sabendo que a reta é paralela ao plano, precisamos verificar se ela está completamente contida no plano ou se está apenas paralela.
Para isso, escolhemos um ponto qualquer da reta x = -2 + 0 = -2 y = 0 z = 1 - 0 = 1 e verificamos se ele satisfaz a equação do plano -3(-2) + (0) - (1) = 6 + 0 - 1 = 5 neq 10 .
Vamos escolher . Substituindo na reta :
Então, o ponto é .
Agora, substituímos esse ponto na equação do plano:
Como o ponto não satisfaz a equação do plano, a reta não está contida no plano .

Passo 5

Como a reta é paralela ao plano mas não está contida nele, concluímos que não há interseção entre a reta e o plano .

Resposta

A reta é paralela ao plano e não está contida nele, ou seja, não há nenhum ponto de interseção entre eles.

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