Se P(A mid B)=0.4, P(B)=0.8 e P(A)=0.5, então os eventos A e B são independentes?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem três probabilidades:
  • (probabilidade de A dado B)
  • (probabilidade de B)
  • (probabilidade de A)
A pergunta é: os eventos A e B são independentes? Vamos usar probabilidades condicionais e independência para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa eventos independentes. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é expresso por:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Também podemos dizer que:
P(A mid B) = P(A)
Se essa igualdade for verdadeira, então A e B são independentes.

Passo 3

Vamos calcular P(A cap B) = P(A mid B) times P(B) usando a definição de probabilidade condicional:
P(A cap B) = 0,4 times 0,8 = 0,32
Substituindo os valores que a gente tem:

Passo 4

Agora, vamos verificar se isso é igual a P(A) times P(B) = 0,5 times 0,8 = 0,4 :

Passo 5

Comparando os resultados:
P(A cap B) = 0,32
P(A) times P(B) = 0,4
Como , a igualdade não é satisfeita.

Resposta

Não, os eventos A e B não são independentes.

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