é o número de reais em uma conta de poupança que paga uma taxa de juros anual de
por cento compostos continuamente. Modele esta situação com uma equação diferencial.
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde
representa a quantidade de dinheiro numa conta de poupança que está rendendo juros continuamente a uma taxa de
por cento ao ano. O objetivo aqui é criar uma equação diferencial que modele como esse dinheiro cresce com o tempo. Vamos precisar usar conceitos de juros compostos contínuos e entender como as quantias mudam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são juros compostos continuamente. Diferente dos juros simples ou compostos periodicamente, nos juros compostos continuamente, os juros são calculados e adicionados ao principal a cada instante. Isso significa que o dinheiro está crescendo o tempo todo, sem intervalos.
Passo 3
Para modelar isso matematicamente, vamos pensar em como a quantidade de dinheiro
muda à medida que o tempo passa. A taxa de variação de
em relação ao tempo
é proporcional ao próprio valor de
. Essa relação pode ser expressa como:
Aqui,
representa a taxa de variação de
com o tempo, e
é a taxa de juros contínua.
Passo 4
Essa equação é uma equação diferencial simples e é conhecida como equação de crescimento exponencial. Ela nos diz que a cada instante, a quantidade de dinheiro está crescendo a uma taxa que é uma fração
do valor atual de
.
Resposta
A equação diferencial que modela a quantidade de reais
na conta de poupança com juros compostos continuamente é: