P(t) é o número de reais em uma conta de poupança que paga uma taxa de juros anual de r por cento compostos continuamente. Modele esta situação com uma equação diferencial.

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde representa a quantidade de dinheiro numa conta de poupança que está rendendo juros continuamente a uma taxa de por cento ao ano. O objetivo aqui é criar uma equação diferencial que modele como esse dinheiro cresce com o tempo. Vamos precisar usar conceitos de juros compostos contínuos e entender como as quantias mudam ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são juros compostos continuamente. Diferente dos juros simples ou compostos periodicamente, nos juros compostos continuamente, os juros são calculados e adicionados ao principal a cada instante. Isso significa que o dinheiro está crescendo o tempo todo, sem intervalos.

Passo 3

Para modelar isso matematicamente, vamos pensar em como a quantidade de dinheiro muda à medida que o tempo passa. A taxa de variação de em relação ao tempo é proporcional ao próprio valor de . Essa relação pode ser expressa como:
Aqui, representa a taxa de variação de com o tempo, e é a taxa de juros contínua.

Passo 4

Essa equação é uma equação diferencial simples e é conhecida como equação de crescimento exponencial. Ela nos diz que a cada instante, a quantidade de dinheiro está crescendo a uma taxa que é uma fração do valor atual de .

Resposta

A equação diferencial que modela a quantidade de reais na conta de poupança com juros compostos continuamente é:

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