Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma superfície da função . A superfície está definida por , , e , onde e variam de 0 a 1. Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente integrais duplas em superfícies parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície usando as variáveis e . Isso significa que vamos expressar , e em função de e :
Assim, nossa superfície fica parametrizada nos intervalos e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em relação a e . Esses vetores são as derivadas parciais de em relação a e :
Esses vetores ajudam a determinar a orientação e a “inclinaç��o” da superfície.
Passo 4
Para calcular a área infinitesimal na superfície, precisamos do produto vetorial desses vetores tangentes e então calcular a magnitude desse produto. O produto vetorial é:
A magnitude desse vetor é:
Então, o elemento de área é .
Passo 5
Vamos agora expressar a função que queremos integrar, x = u, y = v, z = u + 2v , em termos das variáveis x + y + z = u + v + (u + 2v) = 2u + 3v e . Sabemos que:
Então:
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla substituindo tudo que encontramos:
integral duplaS (x + y + z) , ds = integral duplaD (2u + 3v) cdot raiz6 , du , dv
Onde é o domínio e .
Passo 7
Vamos resolver a integral:
integral duplaD (2u + 3v) cdot raiz6 , du , dv = raiz6 ( integral0^1 integral0^1 (2u + 3v) , du , dv )
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 (2u + 3v) , du = [ u^2 + 3v u ]0^1 = (1 + 3v) - (0) = 1 + 3v :
integral0^1 (1 + 3v) , dv = [ v + 32v^2 ]0^1 = (1 + 32) - (0) = 52
Agora, integramos em relação a raiz6 cdot 52 = 5raiz62 :