Calcule integral duplaS(x+y+z) d s onde S é dada por x=u, y=v e z=u+2 v, onde 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma superfície da função . A superfície está definida por , , e , onde e variam de 0 a 1. Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente integrais duplas em superfícies parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S(u, v) = (x, y, z) = (u, v, u + 2v) usando as variáveis e . Isso significa que vamos expressar , e em função de e :
Assim, nossa superfície fica parametrizada nos intervalos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em relação a Su = partial Spartial u = (1, 0, 1) e Sv = partial Spartial v = (0, 1, 2) . Esses vetores são as derivadas parciais de em relação a e :
Esses vetores ajudam a determinar a orientação e a “inclinaç��o” da superfície.

Passo 4

Para calcular a área infinitesimal na superfície, precisamos do produto vetorial desses vetores tangentes Su times Sv = i & j & k 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 = (0 cdot 2 - 1 cdot 1)i - (1 cdot 2 - 1 cdot 0)j + (1 cdot 1 - 0 cdot 0)k = (-1, -2, 1) e então calcular a magnitude desse produto. O produto vetorial é:
|Su times Sv| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
A magnitude desse vetor é:
Então, o elemento de área é .

Passo 5

Vamos agora expressar a função que queremos integrar, x = u, y = v, z = u + 2v , em termos das variáveis x + y + z = u + v + (u + 2v) = 2u + 3v e . Sabemos que:
Então:

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla substituindo tudo que encontramos:
integral duplaS (x + y + z) , ds = integral duplaD (2u + 3v) cdot raiz6 , du , dv
Onde é o domínio e .

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral duplaD (2u + 3v) cdot raiz6 , du , dv = raiz6 ( integral0^1 integral0^1 (2u + 3v) , du , dv )
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 (2u + 3v) , du = [ u^2 + 3v u ]0^1 = (1 + 3v) - (0) = 1 + 3v :
integral0^1 (1 + 3v) , dv = [ v + 32v^2 ]0^1 = (1 + 32) - (0) = 52
Agora, integramos em relação a raiz6 cdot 52 = 5raiz62 :
Multiplicando pelo :

Resposta

5raiz62

Exercícios relacionados