Lembrando que integral dupla S f cdot n d S demonina-se fluxo de f sobre a superfície S, na dreação de n, calcule o fluxo de
v(x, y, z)=10 i+(x^2+y^2) j-2 x y k
através da superfície
S: x=u ; y=v ; z=1-u^2-v^2, 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1
com orientação positiva do vetor normal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de fluxo de campo vetorial através de uma superfície. A gente vai trabalhar com o cálculo de fluxo usando integrais de superfície. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, encontrar o vetor normal e calcular o produto escalar entre o campo vetorial e esse vetor normal. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície x = u; y = v; z = 1 - u^2 - v^2 que a gente tem. Ela está parametrizada por:
com e . Isso significa que e variam de 0 a 1, e depende de e .

Passo 3

Agora, vamos escrever a parametrização vetorial da superfície. Isso é feito combinando as equações de r(u, v) = u,i + v,j + (1 - u^2 - v^2)k , e :
Essa função vetorial nos dá as coordenadas de qualquer ponto na superfície em termos de e .

Passo 4

Para calcular o vetor normal à superfície, precisamos encontrar as derivadas parciais de ru = partial rpartial u = i - 2u,k em relação a rv = partial rpartial v = j - 2v,k e :
Esses vetores tangentes à superfície nos ajudam a encontrar o vetor normal através do produto vetorial.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial ru times rv = i & j & k 1 & 0 & -2u 0 & 1 & -2v para obter o vetor normal:
i(0 cdot (-2v) - (-2u) cdot 1) - j(1 cdot (-2v) - (-2u) cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0)
Calculando o determinante:
i(2u) - j(-2v) + k(1) = 2u,i + 2v,j + k
Simplificando:
Então, o vetor normal é .

Passo 6

Agora, vamos avaliar o campo vetorial v(x, y, z) = 10,i + (x^2 + y^2)j - 2xy,k na superfície v(u, v) = 10,i + (u^2 + v^2)j - 2uv,k . Sabemos que:
Substituindo , e :

Passo 7

Vamos agora calcular o produto escalar v cdot n = (10,i + (u^2 + v^2)j - 2uv,k) cdot (2u,i + 2v,j + k) :
10 cdot 2u + (u^2 + v^2) cdot 2v + (-2uv) cdot 1 = 20u + 2v u^2 + 2v^3 - 2uv
Calculando cada termo:
20u + 2u^2v + 2v^3 - 2uv
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o fluxo:
integral duplaS v cdot n , dS = integral0^1 integral0^1 (20u + 2u^2v + 2v^3 - 2uv) , du , dv
Vamos integrar primeiro em relação a , depois em relação a .

Passo 9

Vamos integrar termo a termo em relação a integral0^1 20u , du = 10u^2 |0^1 = 10 :
integral0^1 2u^2v , du = 2v cdot u^33 |0^1 = 2v3
integral0^1 2v^3 , du = 2v^3 cdot u |0^1 = 2v^3
integral0^1 -2uv , du = -2v cdot u^22 |0^1 = -v
10 + 2v3 + 2v^3 - v = 10 - v3 + 2v^3
Somando todos os resultados:

Passo 10

Agora, vamos integrar em relação a integral0^1 (10 - v3 + 2v^3) , dv = 10v - v^26 + 2v^44 |0^1 :
10(1) - 16 + 24 = 10 - 16 + 12
Simplificando:
10 = 606; 12 = 36
Convertendo para denominador comum:
606 - 16 + 36 = 626 = 313
Então:

Resposta

O fluxo de através da superfície é .

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