Lembrando que demonina-se fluxo de sobre a superfície , na dreação de , calcule o fluxo de
através da superfície
com orientação positiva do vetor normal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de fluxo de campo vetorial através de uma superfície. A gente vai trabalhar com o cálculo de fluxo usando integrais de superfície. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, encontrar o vetor normal e calcular o produto escalar entre o campo vetorial e esse vetor normal. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que a gente tem. Ela está parametrizada por:
com e . Isso significa que e variam de 0 a 1, e depende de e .
Passo 3
Agora, vamos escrever a parametrização vetorial da superfície. Isso é feito combinando as equações de , e :
Essa função vetorial nos dá as coordenadas de qualquer ponto na superfície em termos de e .
Passo 4
Para calcular o vetor normal à superfície, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :
Esses vetores tangentes à superfície nos ajudam a encontrar o vetor normal através do produto vetorial.
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial para obter o vetor normal:
Calculando o determinante:
i(2u) - j(-2v) + k(1) = 2u,i + 2v,j + k
Simplificando:
Então, o vetor normal é .
Passo 6
Agora, vamos avaliar o campo vetorial v(x, y, z) = 10,i + (x^2 + y^2)j - 2xy,k na superfície v(u, v) = 10,i + (u^2 + v^2)j - 2uv,k . Sabemos que:
Substituindo , e :
Passo 7
Vamos agora calcular o produto escalar v cdot n = (10,i + (u^2 + v^2)j - 2uv,k) cdot (2u,i + 2v,j + k) :