f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 - z) e B é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) tais que 0 <= y <= x, 0 <= x <= 1 e 0 <= z <= x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função e um conjunto que define uma região no espaço tridimensional com as condições:
O que precisamos fazer é calcular a integral tripla de sobre a região . Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada variável e depois calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração, ou seja, como , e variam dentro da região .
  • Para : Está dado que .
  • Para : Dado , então varia de 0 até o valor de .
  • Para : Dado , então varia de 0 até .

Passo 3

Agora que entendemos os limites, vamos montar a integral tripla. A ordem de integração que vamos usar será , , , mas você pode escolher outra ordem se preferir. A integral fica assim:

Passo 4

Vamos começar calculando a integral mais interna, que é em relação a . Vamos integrar com respeito a :
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples:
A integral se torna:
Agora, aplicamos os limites de de 0 a :

Passo 5

Agora, nossa integral fica reduzida a uma dupla integral:
Vamos simplificar retirando a constante para facilitar:

Passo 6

Para resolver a integral com respeito a , podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que a integral pode ser complexa. No entanto, para simplificar, usaremos coordenadas polares onde e . Isso facilita a integração de expressões que envolvem .
Neste caso, a expressão se torna , e o elemento de volume se transforma em .

Passo 7

Convertendo para coordenadas polares, a integral fica:
Aqui, vai de 0 a porque implica .

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral com respeito a :
Então, a integral agora é:

Passo 9

A integral de pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes. Sabemos que:
E sabemos que:
Depois de resolver essas integrais, substituímos os limites de a .

Passo 10

Após calcular as integrais, substituímos os limites e simplificamos. Finalmente, obtemos o valor numérico da integral. Após os cálculos, chegamos a:
ó

Resposta

Depois de seguir todos os passos, a integral tripla de sobre a região resulta em:
ó

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