e
é o conjunto de todos os pontos
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função
e um conjunto
que define uma região no espaço tridimensional com as condições:
O que precisamos fazer é calcular a integral tripla de
sobre a região
. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada variável e depois calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração, ou seja, como
,
e
variam dentro da região
.
-
Para
: Está dado que . -
Para
: Dado , então varia de 0 até o valor de . -
Para
: Dado , então varia de 0 até .
Passo 3
Agora que entendemos os limites, vamos montar a integral tripla. A ordem de integração que vamos usar será
,
,
, mas você pode escolher outra ordem se preferir. A integral fica assim:
Passo 4
Vamos começar calculando a integral mais interna, que é em relação a
. Vamos integrar
com respeito a
:
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples:
A integral se torna:
Agora, aplicamos os limites de
de 0 a
:
Passo 5
Agora, nossa integral fica reduzida a uma dupla integral:
Vamos simplificar retirando a constante
para facilitar:
Passo 6
Para resolver a integral com respeito a
, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que a integral pode ser complexa. No entanto, para simplificar, usaremos coordenadas polares onde
e
. Isso facilita a integração de expressões que envolvem
.
Neste caso, a expressão
se torna
, e o elemento de volume
se transforma em
.
Passo 7
Convertendo para coordenadas polares, a integral fica:
Aqui,
vai de 0 a
porque
implica
.
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral com respeito a
:
Então, a integral agora é:
Passo 9
A integral de
pode ser resolvida usando técnicas de integração por partes. Sabemos que:
E sabemos que:
Depois de resolver essas integrais, substituímos os limites de
a
.
Passo 10
Após calcular as integrais, substituímos os limites e simplificamos. Finalmente, obtemos o valor numérico da integral. Após os cálculos, chegamos a:
Resposta
Depois de seguir todos os passos, a integral tripla de
sobre a região
resulta em: