Se é o vetor posição instantânea de uma partícula:
b) Mostrar que em coordenadas cilíndricas:
& v=dd t P=r^prime de
onde os símbolos linha e duas linhas indicam, respectivamente, as derivadas primeira e segunda com relação ao tempo.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente mostrar as expressões para a velocidade v e a aceleração a de uma partícula quando estamos usando coordenadas cilíndricas. A gente vai precisar lembrar como são definidas as coordenadas cilíndricas e como calcular derivadas em relação ao tempo nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, a posição instantânea P de uma partícula é dada por:
P = r de
Aqui, r é a distância radial, theta é o ângulo, e z é a altura. Os vetores de e de são os vetores unitários nas direções radial e vertical, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar a velocidade v, precisamos derivar a posição P em relação ao tempo t. Aplicando a regra da derivada:
v = dPdt = ddt(r de
Usando a regra do produto, temos:
v = r' de
Aqui, r' = drdt, theta' = dthetadt e z' = dzdt.
Passo 4
Agora, para achar a aceleração a, precisamos derivar a velocidade v em relação ao tempo:
a = dvdt = ddt(r' de
Derivando cada termo:
A derivada de r' de é r'' de
A derivada de r theta' de é r' theta' de (considerando que a derivada de de é -de)
A derivada de z' de é z'' de
Passo 5
Juntando tudo, temos:
a = (r'' - r theta'^2) de
Isso mostra como a aceleração depende das derivadas de r, theta e z em relação ao tempo.
Resposta
Portanto, demonstramos que em coordenadas cilíndricas a velocidade e a aceleração são dadas por: