Se P é o vetor posição instantânea de uma partícula:
b) Mostrar que em coordenadas cilíndricas:
& v=dd t P=r^prime de
onde os símbolos linha e duas linhas indicam, respectivamente, as derivadas primeira e segunda com relação ao tempo.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente mostrar as expressões para a velocidade v e a aceleração a de uma partícula quando estamos usando coordenadas cilíndricas. A gente vai precisar lembrar como são definidas as coordenadas cilíndricas e como calcular derivadas em relação ao tempo nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, a posição instantânea P de uma partícula é dada por:
P = r de
Aqui, r é a distância radial, theta é o ângulo, e z é a altura. Os vetores de e de são os vetores unitários nas direções radial e vertical, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a velocidade v, precisamos derivar a posição P em relação ao tempo t. Aplicando a regra da derivada:
v = dPdt = ddt(r de
Usando a regra do produto, temos:
v = r' de
Aqui, r' = drdt, theta' = dthetadt e z' = dzdt.

Passo 4

Agora, para achar a aceleração a, precisamos derivar a velocidade v em relação ao tempo:
a = dvdt = ddt(r' de
Derivando cada termo:
  • A derivada de r' de é r'' de
  • A derivada de r theta' de é r' theta' de (considerando que a derivada de de é -de)
  • A derivada de z' de é z'' de

Passo 5

Juntando tudo, temos:
a = (r'' - r theta'^2) de
Isso mostra como a aceleração depende das derivadas de r, theta e z em relação ao tempo.

Resposta

Portanto, demonstramos que em coordenadas cilíndricas a velocidade e a aceleração são dadas por:
v &= r' de

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