Determine o simétrico de P(1,3,2) em relação
à reta r:lx=t y=2+t ; z=1-2 t t in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o ponto simétrico de em relação à reta . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente, a reflexão de pontos em relação a uma reta no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar calcular a projeção do ponto na reta e, a partir daí, determinar o ponto simétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta x = t y = 2 + t z = 1 - 2t . A equação paramétrica da reta é:
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de , ou seja, .

Passo 3

Agora, escolhemos um ponto qualquer na reta R0 = (0, 2, 1) . Para facilitar, vamos usar o ponto quando :
Esse será nosso ponto de referência para calcular a projeção.

Passo 4

Para encontrar a projeção Q = R0 + PR0 cdot v v cdot v v do ponto na reta , usamos a fórmula da projeção de um vetor em outro:
Onde e .

Passo 5

Calculando o produto escalar PR0 cdot v = (1)(1) + (1)(1) + (1)(-2) = 1 + 1 - 2 = 0 :
v cdot v = (1)^2 + (1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6
E o produto escalar :

Passo 6

Substituindo na fórmula da projeção:
Q = (0,2,1) + 06 cdot (1,1,-2) = (0,2,1) + (0,0,0) = (0,2,1)
Então, a projeção é o próprio ponto .

Passo 7

Agora, para encontrar o ponto simétrico Q = P + P'2 , usamos a relação:
P' = 2Q - P = 2(0,2,1) - (1,3,2) = (0,4,2) - (1,3,2) = (-1,1,0)
Resolvendo para :

Resposta

O ponto simétrico de em relação à reta é .

Exercícios relacionados