Um parafuso produzido por um torno automático poderá ter uma pequena variação no seu comprimento, dada em milímetros. Afirma-se que o comportamento aleatório aleatório pode ser modelado pela função: á
16a
Determine o valor de tal que seja uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

Então, a gente tem um parafuso produzido por um torno automático que pode variar um pouquinho no comprimento, medido em milímetros. A variação desse comprimento é representada por uma função chamada , que nos dá a probabilidade de o parafuso ter um certo comprimento . Queremos encontrar o valor de que faz com que essa função seja uma função densidade de probabilidade. Isso significa que a função precisa satisfazer duas coisas principais:
  1. deve ser maior ou igual a zero para todo .
  2. A integral de em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Ela deve representar a distribuição de probabilidades de uma variável contínua, e para isso, a área total sob a curva da função deve ser igual a 1. Ou seja:
No nosso caso, a função é diferente de zero apenas no intervalo . Fora desse intervalo, ela é zero. Então, a gente só precisa calcular a integral nesse intervalo.

Passo 3

Vamos escrever a equação que precisamos resolver para encontrar :
Agora, vamos calcular essa integral. A gente integra termo a termo:
Onde é a constante de integração, que vamos ignorar porque vamos calcular uma integral definida.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral nos limites de a :
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, para :
E para :
Subtraindo as duas, teremos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
Primeiro, calculando :
E
Substituindo de volta:
Simplificando cada termo:
Combina os termos com e os constantes:
Simplificando as frações:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Primeiro, vamos subtrair dos dois lados:
Agora, multiplique ambos os lados por 8 para isolar :
Finalmente, divida ambos os lados por 17:

Resposta

O valor de que torna uma função densidade de probabilidade é .

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