Um parafuso produzido por um torno automático poderá ter uma pequena variação no seu comprimento, dada em milímetros. Afirma-se que o comportamento aleatório aleatório pode ser modelado pela função: f(x)=crk x+1532, & 116 <= x <= 3316, 0, & caso contrário á
16a
Determine o valor de k tal que f(x) seja uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

Então, a gente tem um parafuso produzido por um torno automático que pode variar um pouquinho no comprimento, medido em milímetros. A variação desse comprimento é representada por uma função chamada , que nos dá a probabilidade de o parafuso ter um certo comprimento . Queremos encontrar o valor de que faz com que essa função seja uma função densidade de probabilidade. Isso significa que a função precisa satisfazer duas coisas principais:
  1. deve ser maior ou igual a zero para todo .
  2. A integral de em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Ela deve representar a distribuição de probabilidades de uma variável contínua, e para isso, a área total sob a curva da função integral-infty^+infty f(x) , dx = 1 deve ser igual a 1. Ou seja:
No nosso caso, a função é diferente de zero apenas no intervalo . Fora desse intervalo, ela é zero. Então, a gente só precisa calcular a integral nesse intervalo.

Passo 3

Vamos escrever a equação que precisamos resolver para encontrar integral116^3316 ( kx + 1532 ) dx = 1 :
integral ( kx + 1532 ) dx = k2x^2 + 1532x + C
Agora, vamos calcular essa integral. A gente integra termo a termo:
Onde é a constante de integração, que vamos ignorar porque vamos calcular uma integral definida.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral nos limites de [ k2x^2 + 1532x ]116^3316 = 1 a k2 ( 3316 )^2 + 1532 ( 3316 ) :
k2 ( 116 )^2 + 1532 ( 116 )
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, para ( k2 ( 3316 )^2 + 1532 ( 3316 ) ) - ( k2 ( 116 )^2 + 1532 ( 116 ) ) = 1 :
E para :
Subtraindo as duas, teremos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
Primeiro, calculando ( 3316 )^2 = 1089256 :
k2 cdot 1089256 + 1532 cdot 3316 - ( k2 cdot 1256 + 1532 cdot 116 ) = 1
E 1089k512 + 495512 - k512 - 15512 = 1
Substituindo de volta:
( 1089k512 - k512 ) + ( 495512 - 15512 ) = 1
Simplificando cada termo:
1088k512 + 480512 = 1
Combina os termos com 1088k512 = 17k8 e os constantes:
480512 = 1516
17k8 + 1516 = 1
Simplificando as frações:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos resolver para 17k8 = 1 - 1516 :
Primeiro, vamos subtrair 17k8 = 1616 - 1516 = 116 dos dois lados:
17k = 116 times 8 = 816 = 12
k = 12 div 17 = 134
Agora, multiplique ambos os lados por 8 para isolar :
Finalmente, divida ambos os lados por 17:

Resposta

O valor de que torna uma função densidade de probabilidade é .

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