Um parafuso produzido por um torno automático poderá ter uma pequena variação no seu comprimento, dada em milímetros. Afirma-se que o comportamento aleatório aleatório pode ser modelado pela função:
16a
Determine o valor de
tal que
seja uma função densidade de probabilidade.
16a
Determine o valor de
Passo 1
Então, a gente tem um parafuso produzido por um torno automático que pode variar um pouquinho no comprimento, medido em milímetros. A variação desse comprimento é representada por uma função chamada
, que nos dá a probabilidade de o parafuso ter um certo comprimento
. Queremos encontrar o valor de
que faz com que essa função seja uma função densidade de probabilidade. Isso significa que a função precisa satisfazer duas coisas principais:
-
deve ser maior ou igual a zero para todo . - A integral de
em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Ela deve representar a distribuição de probabilidades de uma variável contínua, e para isso, a área total sob a curva da função
deve ser igual a 1. Ou seja:
No nosso caso, a função
é diferente de zero apenas no intervalo
. Fora desse intervalo, ela é zero. Então, a gente só precisa calcular a integral nesse intervalo.
Passo 3
Vamos escrever a equação que precisamos resolver para encontrar
:
Agora, vamos calcular essa integral. A gente integra termo a termo:
Onde
é a constante de integração, que vamos ignorar porque vamos calcular uma integral definida.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a integral nos limites de
a
:
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, para
:
E para
:
Subtraindo as duas, teremos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada termo:
Primeiro, calculando
:
E
Substituindo de volta:
Simplificando cada termo:
Combina os termos com
e os constantes:
Simplificando as frações:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Primeiro, vamos subtrair
dos dois lados:
Agora, multiplique ambos os lados por 8 para isolar
:
Finalmente, divida ambos os lados por 17:
Resposta
O valor de
que torna
uma função densidade de probabilidade é
.
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