Seja a superfície dada pela parametrização . Calcule a equação do plano tangente a no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo multivariável, mais especificamente sobre superfícies no espaço tridimensional. A gente precisa encontrar a equação do plano tangente a uma superfície dada pela parametrização no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar derivadas parciais para determinar as direções tangentes na superfície, e então usar essas informações para montar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dão os vetores tangentes à superfície nas direções dessas variáveis.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos calcular esses vetores no ponto específico , .
Substituindo e em :
Substituindo e em :
Passo 4
Com esses dois vetores tangentes, podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial entre e .
Calculando :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo cada componente por -2:
Passo 5
Agora, sabemos que a equação do plano tangente pode ser escrita usando o vetor normal e um ponto na superfície:
Precisamos encontrar as coordenadas do ponto . Vamos calcular:
Resposta
Substituindo os valores na equação do plano tangente, temos:
Simplificando:
Portanto, a equação do plano tangente a no ponto é: