Em certa fábrica, a produção é dada pela função
onde
é o investimento em milhares de reais e
é o volume de mão de obra em homens-hora. O investimento mensal varia de R$ 10000,00 a R$ 12000,00 e o volume de mão de obra utilizado em um mês varia de 2800 a 3000 homens-hora. Determine a produção mensal média da fábrica.
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que mostra a produção de uma fábrica baseada no investimento (k) e na mão de obra (L). Nosso objetivo é calcular a produção média mensal dessa fábrica, levando em conta que o investimento varia de R$10.000 a R$12.000 e a mão de obra de 2800 a 3000 homens-hora. Para isso, vamos usar conceitos de funções matemáticas e médias. Vamos precisar calcular a média dos valores de investimento e mão de obra e depois aplicar esses valores na função de produção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de produção dada:
Aqui,
é o investimento em milhares de reais e
é o volume de mão de obra em homens-hora. Nosso objetivo é encontrar a produção média mensal, então precisamos determinar os valores médios de
e
dentro dos intervalos fornecidos.
Passo 3
Vamos calcular a média do investimento
. O investimento varia de R$10.000 a R$12.000, então em milhares de reais isso fica de 10 a 12. A média é simplesmente:
Passo 4
Agora, vamos calcular a média da mão de obra
. O volume varia de 2800 a 3000 homens-hora. A média é:
Passo 5
Com as médias calculadas, vamos substituir esses valores na função de produção para encontrar a produção média mensal:
Passo 6
Agora, vamos calcular cada parte da expressão:
-
Calculando
: Primeiro, encontramos a raiz cúbica de 11 e depois elevamos ao quadrado. -
Calculando
: Primeiro, encontramos a raiz quinta de 2900 e depois elevamos ao quadrado.
Passo 7
Agora, multiplicamos todos os valores:
Resposta
A produção mensal média da fábrica é de aproximadamente 5.134 unidades.