Em certa fábrica, a produção é dada pela função
f(k, L) = 50 * k^(2/3) * L^(2/5)
onde k é o investimento em milhares de reais e L é o volume de mão de obra em homens-hora. O investimento mensal varia de R$ 10000,00 a R$ 12000,00 e o volume de mão de obra utilizado em um mês varia de 2800 a 3000 homens-hora. Determine a produção mensal média da fábrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que mostra a produção de uma fábrica baseada no investimento (k) e na mão de obra (L). Nosso objetivo é calcular a produção média mensal dessa fábrica, levando em conta que o investimento varia de R$10.000 a R$12.000 e a mão de obra de 2800 a 3000 homens-hora. Para isso, vamos usar conceitos de funções matemáticas e médias. Vamos precisar calcular a média dos valores de investimento e mão de obra e depois aplicar esses valores na função de produção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de produção dada:
Aqui, é o investimento em milhares de reais e é o volume de mão de obra em homens-hora. Nosso objetivo é encontrar a produção média mensal, então precisamos determinar os valores médios de e dentro dos intervalos fornecidos.

Passo 3

Vamos calcular a média do investimento . O investimento varia de R$10.000 a R$12.000, então em milhares de reais isso fica de 10 a 12. A média é simplesmente:
é

Passo 4

Agora, vamos calcular a média da mão de obra . O volume varia de 2800 a 3000 homens-hora. A média é:
é

Passo 5

Com as médias calculadas, vamos substituir esses valores na função de produção para encontrar a produção média mensal:

Passo 6

Agora, vamos calcular cada parte da expressão:
  1. Calculando :
    Primeiro, encontramos a raiz cúbica de 11 e depois elevamos ao quadrado.
  2. Calculando :
    Primeiro, encontramos a raiz quinta de 2900 e depois elevamos ao quadrado.

Passo 7

Agora, multiplicamos todos os valores:
çã

Resposta

A produção mensal média da fábrica é de aproximadamente 5.134 unidades.

Exercícios relacionados