Uma parede composta possui três materiais, dois dos quais com condutividade térmica kA=20 W /(m cdot K) e kc=50 W /(m cdot K) e espessura LA=0,3 m e Lc=0,15 m. O terceiro material, B , que se encontra entre os materiais A e C , possui espessura LB=0,15 m. Mas sua condutividade térmica kB é desconhecida. Medidas revelam que a temperatura externa da parede é Te=35^circ C e a interna é Ti =650^circ C. A temperatura do ar no interior do forno é Tinfty=780^circ C. O coeficiente convectivo da parte interna do forno é conhecido e possui valor h=22,5 W /(m^2 cdot K). Represente graficamente o circuito térmico referente a esta configuração. Determine o valor de kB.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o problema nos apresenta. Temos uma parede composta por três materiais diferentes: A, B e C. Os materiais A e C têm suas condutividades térmicas ( kA e kc) e espessuras ( LA e Lc) conhecidas. O material B está no meio e sua condutividade térmica ( kB) é desconhecida. Também temos informações sobre as temperaturas internas e externas da parede, além do coeficiente de transferência de calor por convecção ( h) na parte interna do forno. Vamos precisar usar conceitos de condução e convecção de calor para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos encontrar: a condutividade térmica do material B ( kB). Para isso, vamos usar a ideia de que, em regime estacionário, a taxa de transferência de calor através de cada camada deve ser a mesma.

Passo 3

A transferência de calor por condução em cada material pode ser calculada usando a fórmula:
Q = k cdot A cdot De
Onde:
  • Q é a taxa de transferência de calor,
  • k é a condutividade térmica,
  • A é a área da parede (vamos considerar A = 1 , m^2 para simplificar),
  • De é a diferença de temperatura,
  • L é a espessura do material.

Passo 4

Para a parte interna do forno, temos transferência de calor por convecção, que é dada por:
Q = h cdot A cdot (Tinfty - Ti)
Onde:
  • h é o coeficiente de convecção,
  • Tinfty é a temperatura do ar no interior do forno,
  • Ti é a temperatura interna da parede.

Passo 5

Como a taxa de transferência de calor Q é a mesma em toda a parede, podemos igualar as expressões de condução e convecção:
kA cdot (Ti - Te)LA + kB cdot (Ti - Te)LB + kc cdot (Ti - Te)Lc = h cdot (Tinfty - Ti)

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para resolver para kB:
kB = LB(Ti - Te) [ h cdot (Tinfty - Ti) - kA cdot (Ti - Te)LA - kc cdot (Ti - Te)Lc ]

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • kA = 20 , W/(m cdot K)
  • kc = 50 , W/(m cdot K)
  • LA = 0,3 , m
  • Lc = 0,15 , m
  • LB = 0,15 , m
  • Te = 35^circ C
  • Ti = 650^circ C
  • Tinfty = 780^circ C
  • h = 22,5 , W/(m^2 cdot K)

Passo 8

Substituindo os valores na equação:
kB = 0,15(650 - 35) [ 22,5 cdot (780 - 650) - 20 cdot (650 - 35)0,3 - 50 cdot (650 - 35)0,15 ]

Passo 9

Calculando cada parte:
  1. (Ti - Te) = 650 - 35 = 615 , K
  2. (Tinfty - Ti) = 780 - 650 = 130 , K
  3. kA cdot (Ti - Te)LA = 20 cdot 6150,3 = 41,000 , W/(m^2)
  4. kc cdot (Ti - Te)Lc = 50 cdot 6150,15 = 205,000 , W/(m^2)
  5. h cdot (Tinfty - Ti) = 22,5 cdot 130 = 2,925 , W/(m^2)

Passo 10

Substituindo de volta:
kB = 0,15615 [ 2,925 - 41,000 - 205,000 ]
kB = 0,15615 cdot (-243,075)

Passo 11

Calculando:
kB = 0,15 cdot (-243,075)615 approx -36,461615 approx -59,24 , W/(m cdot K)

Resposta

A condutividade térmica do material B ( kB) é aproximadamente 59,24 , W/(m cdot K).

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