Explique, detalhadamente, a dedução da Equação de Navier-Stokes e suas possíveis formas reduzidas e simplificadas.

Passo 1

Então, a gente quer entender como se deduz a Equação de Navier-Stokes e também ver algumas versões mais simples dessa equação. Essa é uma equação fundamental na mecânica dos fluidos, que descreve como líquidos e gases se movem. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos como conservação de massa, conservação de momento, viscosidade e algumas ferramentas de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Equação de Navier-Stokes surge da aplicação das leis de conservação para um fluido. A gente começa com a Lei da Conservação da Massa, também conhecida como equação da continuidade. Ela garante que a massa total do fluido se mantém constante durante o movimento. Em termos matemáticos, fica assim:
partial rhopartial t + nabla cdot (rho u) = 0
Aqui, é a densidade do fluido e é o campo de velocidade.

Passo 3

Agora, vamos para a Lei da Conservação do Momento, que é onde entra a Equação de Navier-Stokes propriamente dita. Ela basicamente diz que a mudança no momento de um fluido é igual às forças aplicadas sobre ele. As principais forças a considerar são a força de pressão, a força viscosa e quaisquer forças externas como a gravidade.
Matematicamente, a equação fica:
rho ( partial upartial t + (u cdot nabla)u ) = -nabla p + mu nabla^2 u + f
Onde:
  • é a pressão,
  • é a viscosidade dinâmica,
  • é o operador laplaciano,
  • representa forças externas por unidade de volume.

Passo 4

Vamos detalhar cada termo dessa equação. Do lado esquerdo, temos a massa multiplicada pela aceleração total do fluido, que inclui a variação temporal da velocidade e a aceleração convectiva .
Do lado direito, o termo representa a força devido à pressão, é a força viscosa que age contra o movimento do fluido, e são outras forças externas, como a gravidade.

Passo 5

Para simplificar a Equação de Navier-Stokes, podemos considerar algumas situações especiais onde certos termos se tornam negligenciáveis. Por exemplo:
  • Fluido Incomprimível: Se a densidade é constante, a equação da continuidade simplifica para .
  • Regime de Baixa Velocidade ou Pequena Viscosidade: Podemos ignorar o termo viscoso , obtendo a Equação de Euler, que descreve o fluxo de um fluido ideal sem viscosidade.
  • Fluxo Laminar em Canal: Em determinadas geometrias e condições de fluxo, a equação pode ser reduzida a formas mais simples, como a Lei de Poiseuille para fluxo laminar em tubos.

Passo 6

Outra forma simplificada muito utilizada é a Forma Não Dimensional da Equação de Navier-Stokes, onde as variáveis são escalonadas para remover unidades. Isso ajuda a identificar números adimensionais importantes como o número de Reynolds, que caracteriza o regime de fluxo (laminar ou turbulento).

Resposta

A Equação de Navier-Stokes é derivada aplicando as leis de conservação da massa e do momento para um fluido, incorporando forças de pressão, viscosas e externas. Dependendo das condições e simplificações, ela pode assumir formas reduzidas, como a Equação de Euler para fluidos ideais ou a Lei de Poiseuille para fluxos laminares em tubos. Essas simplificações tornam a análise de problemas específicos mais manejável sem perder a essência do comportamento do fluido.

Exercícios relacionados