Explique, detalhadamente, a dedução da Equação de Navier-Stokes e suas possíveis formas reduzidas e simplificadas.
Passo 1
Então, a gente quer entender como se deduz a Equação de Navier-Stokes e também ver algumas versões mais simples dessa equação. Essa é uma equação fundamental na mecânica dos fluidos, que descreve como líquidos e gases se movem. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos como conservação de massa, conservação de momento, viscosidade e algumas ferramentas de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Equação de Navier-Stokes surge da aplicação das leis de conservação para um fluido. A gente começa com a Lei da Conservação da Massa, também conhecida como equação da continuidade. Ela garante que a massa total do fluido se mantém constante durante o movimento. Em termos matemáticos, fica assim:
Aqui,
é a densidade do fluido e
é o campo de velocidade.
Passo 3
Agora, vamos para a Lei da Conservação do Momento, que é onde entra a Equação de Navier-Stokes propriamente dita. Ela basicamente diz que a mudança no momento de um fluido é igual às forças aplicadas sobre ele. As principais forças a considerar são a força de pressão, a força viscosa e quaisquer forças externas como a gravidade.
Matematicamente, a equação fica:
Onde:
-
é a pressão, -
é a viscosidade dinâmica, -
é o operador laplaciano, -
representa forças externas por unidade de volume.
Passo 4
Vamos detalhar cada termo dessa equação. Do lado esquerdo, temos a massa
multiplicada pela aceleração total do fluido, que inclui a variação temporal da velocidade
e a aceleração convectiva
.
Do lado direito, o termo
representa a força devido à pressão,
é a força viscosa que age contra o movimento do fluido, e
são outras forças externas, como a gravidade.
Passo 5
Para simplificar a Equação de Navier-Stokes, podemos considerar algumas situações especiais onde certos termos se tornam negligenciáveis. Por exemplo:
-
Fluido Incomprimível: Se a densidade
é constante, a equação da continuidade simplifica para . -
Regime de Baixa Velocidade ou Pequena Viscosidade: Podemos ignorar o termo viscoso
, obtendo a Equação de Euler, que descreve o fluxo de um fluido ideal sem viscosidade. -
Fluxo Laminar em Canal: Em determinadas geometrias e condições de fluxo, a equação pode ser reduzida a formas mais simples, como a Lei de Poiseuille para fluxo laminar em tubos.
Passo 6
Outra forma simplificada muito utilizada é a Forma Não Dimensional da Equação de Navier-Stokes, onde as variáveis são escalonadas para remover unidades. Isso ajuda a identificar números adimensionais importantes como o número de Reynolds, que caracteriza o regime de fluxo (laminar ou turbulento).
Resposta
A Equação de Navier-Stokes é derivada aplicando as leis de conservação da massa e do momento para um fluido, incorporando forças de pressão, viscosas e externas. Dependendo das condições e simplificações, ela pode assumir formas reduzidas, como a Equação de Euler para fluidos ideais ou a Lei de Poiseuille para fluxos laminares em tubos. Essas simplificações tornam a análise de problemas específicos mais manejável sem perder a essência do comportamento do fluido.