Uma parede de forno deve ser construída com tijolos que tem dimensões padrão de 9 x 4,5 x 3 polegadas. Dois tipos de materiais estão disponíveis. Um suporta temperatura máxima de utilização de 1900^circ F e apresenta condutividade térmica de 1 BTU / h ft ^circ F; o outro suporta um de limite máximo de 1600^circ F e apresenta condutividade térmica de 0,5 BTU / h ft ^circ F. Os tijolos apresentam o mesmo custo e podem ser assentados de qualquer modo, porém queremos projetar a parede mais econômica para um forno com a temperatura de 1900^circ F no lado aquecido e 400^circ F no lado frio. Se a quantidade máxima permitida de transferência de calor for 300 BTU/h para cada pé quadrado de área, determine o arranjo mais econômico utilizando os tijolos disponíveis.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que construir uma parede de forno usando tijolos com dimensões de 9 x 4,5 x 3 polegadas. Existem dois tipos de materiais disponíveis:
  1. Material A: Suporta até 1900^circ F e tem condutividade térmica de 1 BTU / h ft ^circ F.
  2. Material B: Suporta até 1600^circ F e tem condutividade térmica de 0,5 BTU / h ft ^circ F.
Queremos montar a parede mais econômica para um forno com temperatura de 1900^circ F no lado quente e 400^circ F no lado frio. A transferência de calor máxima permitida é de 300 BTU/h por pé quadrado de área. Vamos precisar entender conceitos de condutividade térmica e resistência térmica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é condutividade térmica. A condutividade térmica ( k) mede a capacidade de um material em conduzir calor. Quanto menor for o k, melhor o isolamento do material. Aqui, o Material B tem menor condutividade térmica, ou seja, é melhor isolante que o Material A.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre resistência térmica ( R). Ela é a oposição que um material oferece à transferência de calor e é calculada pela fórmula:
R = dk
onde d é a espessura do material e k é a condutividade térmica.

Passo 4

Vamos calcular a resistência térmica de cada tipo de tijolo. Primeiro, precisamos converter as dimensões dos tijolos para pés, já que a condutividade está em BTU/h·ft·°F.
  • 9 polegadas = 0,75 pés
  • 4,5 polegadas = 0,375 pés
  • 3 polegadas = 0,25 pés
Assumindo que a espessura da parede será a espessura do tijolo de 0,25 pés.
Para o Material A:
RA = 0,251 = 0,25 , h cdot ft^2 cdot °F / BTU
Para o Material B:
RB = 0,250,5 = 0,5 , h cdot ft^2 cdot °F / BTU

Passo 5

Agora, queremos limitar a transferência de calor a no máximo 300 BTU/h por pé quadrado. A transferência de calor ( Q) pode ser calculada pela fórmula:
Q = De
onde De é a diferença de temperatura e R é a resistência térmica total da parede.
Rearranjando para encontrar R necessário:
R = De
A diferença de temperatura é:
De
Portanto:
Rnecessário = 1500300 = 5 , h cdot ft^2 cdot °F / BTU á

Passo 6

Agora, vamos determinar quantos tijolos de cada tipo precisamos para alcançar uma resistência térmica total de pelo menos 5 h·ft²·°F/BTU.
Cada tijolo de Material A tem RA = 0,25 e cada de Material B tem RB = 0,5.
Vamos chamar o número de tijolos de Material A de nA e de Material B de nB. A resistência térmica total Rtotal é a soma das resistências individuais:
Rtotal = nA cdot RA + nB cdot RB
Queremos:
nA cdot 0,25 + nB cdot 0,5 >= 5

Passo 7

Como queremos a parede mais econômica e os tijolos têm o mesmo custo, preferimos usar menos tijolos. Como os tijolos de Material B oferecem maior resistência térmica, vamos priorizar o uso deles.
Vamos supor que usamos apenas tijolos de Material B:
nB cdot 0,5 >= 5 Rightarrow nB >= 10
Isso implica usar 10 tijolos de Material B.

Passo 8

Agora, vamos verificar se misturando os dois tipos de tijolos conseguimos usar menos tijolos no total.
Usando a equação:
0,25nA + 0,5nB = 5
Podemos expressar nA em função de nB:
nA = 5 - 0,5nB0,25 = 20 - 2nB
Como nA deve ser positivo, então:
20 - 2nB >= 0 Rightarrow nB <= 10
Portanto, o mínimo ocorre quando nB = 10 e nA = 0.

Resposta

A forma mais econômica de construir a parede é utilizar 10 tijolos do Material B e nenhum tijolo do Material A, garantindo a transferência de calor abaixo de 300 BTU/h por pé quadrado.

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