Um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa uniforme de dotq=9,5 times 10^4 W / m^3 é composto por uma casca esférica de chumbo com um raio interno r1=28 cm e espessura de 6 cm(kpb=35 W /(m cdot K)). O interior da casca de chumbo é totalmente preenchido pelos rejeitos. É aplicado um revestimento externamente a casca de chumbo com espessura de 3 cm . Esse reservatório é mergulhado em um meio líquido cuja temperatura é T infty=10^circ C, que proporciona um coeficiente convectivo de h=1000 W /(m^2 K) na superfície externa do conjunto esférico. Determine o valor da condutividade térmica do revestimento de forma que a temperatura máxima do reservatório de chumbo seja limitada em 270^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos, e esses rejeitos geram calor de forma uniforme. Esse reservatório é composto por uma casca esférica de chumbo com raio interno de 28 cm e espessura de 6 cm. Além disso, há um revestimento externo com espessura de 3 cm. O objetivo é encontrar a condutividade térmica desse revestimento para que a temperatura máxima no interior do chumbo não ultrapasse 270°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em esferas e transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para metros para facilitar os cálculos:
  • Raio interno do chumbo,
  • Espessura do chumbo,
  • Raio externo do chumbo,
  • Espessura do revestimento,
  • Raio externo do revestimento,

Passo 3

Vamos considerar a geração de calor no interior do chumbo. A taxa de geração de calor por unidade de volume é Q>=r = dotq times Volume = dotq times 43 pi r1^3 . Para uma esfera, a taxa total de geração de calor, Q>=r = 9,5 times 10^4 times 43 pi (0,28)^3 , é dada por:
Vamos calcular isso:

Passo 4

A transferência de calor ocorre através da condução no chumbo e no revestimento, e por convecção na superfície externa do revestimento. A condição de equilíbrio térmico estabelece que a geração de calor dentro do reservatório é igual à perda de calor para o ambiente.
A resistência térmica total é a soma das resistências à condução no chumbo, condução no revestimento e convecção:
1Q = 1Qchumbo + 1Qrevestimento + 1Qconvecção çã
Mas, de forma mais simples, podemos usar a fórmula para condução em camadas concêntricas esféricas:
QDe
Onde é a condutividade térmica do revestimento que queremos encontrar, e á.

Passo 5

Igualando a geração de calor Q>=r = 4 pi k r1 r3r3 - r1 De à transferência de calor pela condução e convecção k = Q>=r (r3 - r1)4 pi r1 r3 De, temos:
Resolvendo para :

Passo 6

Vamos calcular Q>=r = 9,5 times 10^4 times 43 pi (0,28)^3 approx 9,5 times 10^4 times 43 pi times 0,021952 approx 9,5 times 10^4 times 0,0921 approx 8749,5 , W :

Passo 7

Agora, substituímos os valores na equação para k = 8749,5 times (0,37 - 0,28)4 pi times 0,28 times 0,37 times 260 :
k = 8749,5 times 0,09338,88 approx 787,455338,88 approx 2,32 , W/(m·K)
Calculando passo a passo:
  1. Finalmente,

Resposta

A condutividade térmica do revestimento necessária para limitar a temperatura máxima do reservatório de chumbo a 270°C é aproximadamente .

Exercícios relacionados