Um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa uniforme de
é composto por uma casca esférica de chumbo com um raio interno
e espessura de
. O interior da casca de chumbo é totalmente preenchido pelos rejeitos. É aplicado um revestimento externamente a casca de chumbo com espessura de 3 cm . Esse reservatório é mergulhado em um meio líquido cuja temperatura é
, que proporciona um coeficiente convectivo de
na superfície externa do conjunto esférico. Determine o valor da condutividade térmica do revestimento de forma que a temperatura máxima do reservatório de chumbo seja limitada em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos, e esses rejeitos geram calor de forma uniforme. Esse reservatório é composto por uma casca esférica de chumbo com raio interno de 28 cm e espessura de 6 cm. Além disso, há um revestimento externo com espessura de 3 cm. O objetivo é encontrar a condutividade térmica desse revestimento para que a temperatura máxima no interior do chumbo não ultrapasse 270°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em esferas e transferência de calor por convecção.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as medidas para metros para facilitar os cálculos:
- Raio interno do chumbo,
- Espessura do chumbo,
- Raio externo do chumbo,
- Espessura do revestimento,
- Raio externo do revestimento,
Passo 3
Vamos considerar a geração de calor no interior do chumbo. A taxa de geração de calor por unidade de volume é
. Para uma esfera, a taxa total de geração de calor,
, é dada por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
A transferência de calor ocorre através da condução no chumbo e no revestimento, e por convecção na superfície externa do revestimento. A condição de equilíbrio térmico estabelece que a geração de calor dentro do reservatório é igual à perda de calor para o ambiente.
A resistência térmica total é a soma das resistências à condução no chumbo, condução no revestimento e convecção:
Mas, de forma mais simples, podemos usar a fórmula para condução em camadas concêntricas esféricas:
Onde
é a condutividade térmica do revestimento que queremos encontrar, e
.
Passo 5
Igualando a geração de calor
à transferência de calor pela condução e convecção
, temos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Vamos calcular
:
Passo 7
Agora, substituímos os valores na equação para
:
Calculando passo a passo:
-
-
- Finalmente,
Resposta
A condutividade térmica do revestimento necessária para limitar a temperatura máxima do reservatório de chumbo a 270°C é aproximadamente
.