Um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa uniforme de é composto por uma casca esférica de chumbo com um raio interno e espessura de . O interior da casca de chumbo é totalmente preenchido pelos rejeitos. É aplicado um revestimento externamente a casca de chumbo com espessura de 3 cm . Esse reservatório é mergulhado em um meio líquido cuja temperatura é , que proporciona um coeficiente convectivo de na superfície externa do conjunto esférico. Determine o valor da condutividade térmica do revestimento de forma que a temperatura máxima do reservatório de chumbo seja limitada em .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos, e esses rejeitos geram calor de forma uniforme. Esse reservatório é composto por uma casca esférica de chumbo com raio interno de 28 cm e espessura de 6 cm. Além disso, há um revestimento externo com espessura de 3 cm. O objetivo é encontrar a condutividade térmica desse revestimento para que a temperatura máxima no interior do chumbo não ultrapasse 270°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em esferas e transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para metros para facilitar os cálculos:
  • Raio interno do chumbo,
  • Espessura do chumbo,
  • Raio externo do chumbo,
  • Espessura do revestimento,
  • Raio externo do revestimento,

Passo 3

Vamos considerar a geração de calor no interior do chumbo. A taxa de geração de calor por unidade de volume é . Para uma esfera, a taxa total de geração de calor, , é dada por:
Vamos calcular isso:

Passo 4

A transferência de calor ocorre através da condução no chumbo e no revestimento, e por convecção na superfície externa do revestimento. A condição de equilíbrio térmico estabelece que a geração de calor dentro do reservatório é igual à perda de calor para o ambiente.
A resistência térmica total é a soma das resistências à condução no chumbo, condução no revestimento e convecção:
çã
Mas, de forma mais simples, podemos usar a fórmula para condução em camadas concêntricas esféricas:
Onde é a condutividade térmica do revestimento que queremos encontrar, e á.

Passo 5

Igualando a geração de calor à transferência de calor pela condução e convecção , temos:
Resolvendo para :

Passo 6

Vamos calcular :

Passo 7

Agora, substituímos os valores na equação para :
Calculando passo a passo:
  1. Finalmente,

Resposta

A condutividade térmica do revestimento necessária para limitar a temperatura máxima do reservatório de chumbo a 270°C é aproximadamente .

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Um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa uniforme de é composto por uma casca esférica de chumbo com um raio interno e espessura de . O interior da casca de chumbo é totalmente preenchido pelos rejeitos. É aplicado um revestimento externamente a casca de chumbo com espessura de 3 cm . Esse reservatório é mergulhado em um meio líquido cuja temperatura é , que proporciona um coeficiente convectivo de na superfície externa do conjunto esférico. Desenhe o circuito térmico que representa o problema indicando todas as resistências, temperaturas e taxas de transferência de calor (Deixe na forma simbólica).