Sabendo que o campo vetorial dado pela função abaixo é conservativo, determine a função potencial e assinale a alternativa correta: F(x,y,z)=(yx+2)i+(xz+1)j+(xy+2z)k
Passo 1
Beleza, a gente tem um campo vetorial $ \mathbf{F}(x, y, z) = (yx + 2)\mathbf{i} + (xz + 1)\mathbf{j} + (xy + 2z)\mathbf{k} $ que é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial $ f(x, y, z) $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla f $. Para resolver, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de funções potenciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se $ \mathbf{F} = \nabla f $, então:
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a $ x $ para encontrar $ f(x, y, z) $.
Integrando $ \frac{\partial f}{\partial x} = yx + 2 $ em relação a $ x $:
Aqui, $ g(y, z) $ é uma função que pode depender de $ y $ e $ z $.
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda equação $ \frac{\partial f}{\partial y} = xz + 1 $ para encontrar $ g(y, z) $.
Derivando $ f(x, y, z) $ em relação a $ y $:
Isolando $ \frac{\partial g}{\partial y} $:
Notamos que $ \frac{\partial g}{\partial y} $ não depende de $ y $, então a função $ g(y, z) $ pode ser integrada diretamente em relação a $ y $:
Onde $ h(z) $ é uma função que depende apenas de $ z $.
Passo 4
Agora vamos usar a terceira equação $ \frac{\partial f}{\partial z} = xy + 2z $ para encontrar $ h(z) $.
Derivando $ f(x, y, z) $ em relação a $ z $:
Calculando $ \frac{\partial g}{\partial z} $:
Isolando $ \frac{d h(z)}{dz} $:
Integrando em relação a $ z $:
Onde $ C $ é uma constante.
Passo 5
Agora, substituindo $ h(z) $ de volta na expressão de $ g(y, z) $:
E, finalmente, substituindo tudo na expressão de $ f(x, y, z) $:
Simplificando:
Resposta
A função potencial é $ f(x, y, z) = 2x + z^2 + C $, onde $ C $ é uma constante.