Sabendo que o campo vetorial dado pela função abaixo é conservativo, determine a função potencial e assinale a alternativa correta: F(x,y,z)=(yx+2)i+(xz+1)j+(xy+2z)k

Passo 1

Beleza, a gente tem um campo vetorial $ \mathbf{F}(x, y, z) = (yx + 2)\mathbf{i} + (xz + 1)\mathbf{j} + (xy + 2z)\mathbf{k} $ que é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial $ f(x, y, z) $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla f $. Para resolver, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de funções potenciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se $ \mathbf{F} = \nabla f $, então:
F = nabla f
partial fpartial x = yx + 2
partial fpartial y = xz + 1
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a $ x $ para encontrar $ f(x, y, z) $.
Integrando $ \frac{\partial f}{\partial x} = yx + 2 $ em relação a $ x $:
partial fpartial z = xy + 2z
Aqui, $ g(y, z) $ é uma função que pode depender de $ y $ e $ z $.

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda equação $ \frac{\partial f}{\partial y} = xz + 1 $ para encontrar $ g(y, z) $.
Derivando $ f(x, y, z) $ em relação a $ y $:
partial fpartial y = xz + 1
Isolando $ \frac{\partial g}{\partial y} $:
g(y, z)
Notamos que $ \frac{\partial g}{\partial y} $ não depende de $ y $, então a função $ g(y, z) $ pode ser integrada diretamente em relação a $ y $:
f(x, y, z)
Onde $ h(z) $ é uma função que depende apenas de $ z $.

Passo 4

Agora vamos usar a terceira equação $ \frac{\partial f}{\partial z} = xy + 2z $ para encontrar $ h(z) $.
Derivando $ f(x, y, z) $ em relação a $ z $:
partial fpartial z = xy + 2z
Calculando $ \frac{\partial g}{\partial z} $:
h(z)
Isolando $ \frac{d h(z)}{dz} $:
f(x, y, z)
Integrando em relação a $ z $:
z
Onde $ C $ é uma constante.

Passo 5

Agora, substituindo $ h(z) $ de volta na expressão de $ g(y, z) $:
h(z)
E, finalmente, substituindo tudo na expressão de $ f(x, y, z) $:
g(y, z)
Simplificando:
g(y, z) = (xz + 1 - 12x^2)y + z^2 + C

Resposta

A função potencial é $ f(x, y, z) = 2x + z^2 + C $, onde $ C $ é uma constante.

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