Parte do sistema imunológico de nosso organismo consiste em certa classe de células conhecidas como células T. Há 2 tipos de células T, chamadas de CD4 e CD8. Embora o número total de células T em portadores do vírus da AIDS seja igual (pelo menos nos estágios iniciais da doença) ao número presente em indivíduos sadios, descobriu-se que as proporções de células T CD4 e CD8 são diferentes em pessoas sadias e naquelas portadoras do vírus: aproximadamente
das células T de uma pessoa sadia são do tipo CD4, enquanto o percentual de células T do tipo CD4 parece decrescer continuamente em portadores do vírus da AIDS. Um modelo propõe que o vírus HIV (que causa a AIDS) ataca as células CD4, e que o mecanismo do organismo para repor as células T mortas não consegue identificar se a célula morta era CD4 ou CD8. Em vez disso, ela produz uma nova célula T cujas probabilidades de ser dos tipos CD4 e CD8 são de 0,6 e 0,4, respectivamente. Entretanto, embora isso pareça ser uma maneira muito eficiente de se repor as células T quando cada célula morta tem a mesma probabilidade de ser de qualquer tipo (e, portanto, tem probabilidade de 0,6 de ser CD4), as consequências são perigosas ao se tratar de um vírus que ataca somente as células CD4.
Neste contexto, considere que o organismo de uma pessoa que carrega o vírus HIV possui inicialmente
células do tipo CD4, e calcule o número médio de células que devem ser mortas pelo vírus até que organismo não possua mais célu-
las CD4.
Neste contexto, considere que o organismo de uma pessoa que carrega o vírus HIV possui inicialmente
las CD4.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema imunológico com dois tipos de células T: CD4 e CD8. Em pessoas saudáveis, cerca de 60% das células T são CD4. No caso de portadores do vírus HIV, o vírus ataca apenas as células CD4, e quando uma célula T é substituída, há 60% de chance de ser CD4 e 40% de chance de ser CD8. A pergunta é: Quantas células CD4, em média, precisam ser mortas pelo vírus até que não reste nenhuma célula CD4 no organismo, partindo de um total inicial de $ m $ células CD4?
Vamos usar conceitos de probabilidade e expectativa para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece cada vez que uma célula CD4 é morta pelo vírus:
- Com probabilidade de 60% (0,6): A célula substituta também é CD4. Então, o número de células CD4 permanece o mesmo.
- Com probabilidade de 40% (0,4): A célula substituta é CD8. Nesse caso, o número de células CD4 diminui em uma unidade.
Queremos calcular o número médio de mortes necessárias para que todas as células CD4 sejam eliminadas, começando com $ m $ células.
Passo 3
Vamos definir $ E(N) $ como o número esperado de mortes necessárias para eliminar todas as células CD4, começando com $ N $ células.
Quando temos $ N $ células:
- Uma célula é morta (contamos como 1 morte).
- Se a substituição for CD4 (60%), o número de células CD4 permanece $ N $, e precisamos de mais $ E(N) $ mortes.
- Se a substituição for CD8 (40%), o número de células CD4 diminui para $ N - 1 $, e precisamos de mais $ E(N - 1) $ mortes.
Isso nos leva à seguinte equação:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para $ E(N) $:
Subtraindo $ 0,6 \times E(N) $ de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 0,4:
Passo 5
Agora, temos uma relação de recorrência simples:
Aplicando essa relação repetidamente, vemos que:
Sabemos que $ E(0) = 0 $ porque se não há células CD4, não são necessárias mortes adicionais.
Portanto:
Resposta
O número médio de células CD4 que devem ser mortas pelo vírus até que não haja mais nenhuma é $ 2,5 \times m $.