Se X e Y possuem função densidade conjunta
f(x, y)=1y, 0
calcule:
E[X]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, com uma função densidade conjunta definida por:
X
O objetivo aqui é calcular o valor esperado de $ X $, que é representado por $ \mathbf{E}[X] $. Para isso, vamos precisar utilizar conhecimentos de probabilidade, especificamente sobre funções densidade conjunta e como calcular o valor esperado a partir delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado de $ X $ quando temos a função densidade conjunta de $ X $ e $ Y $. A fórmula para $ \mathbf{E}[X] $ é dada por:
X
No nosso caso, sabemos que $ f(x, y) = \frac{1}{y} $ apenas dentro dos limites $ 0 < y < 1 $ e $ 0 < x < y $. Fora desses limites, a função densidade é zero. Portanto, podemos ajustar os limites de integração para essas regiões.

Passo 3

Vamos ajustar os limites de integração de acordo com a definição da função densidade:
E[X] = integraly=0^1 integralx=0^y x cdot 1y , dx , dy
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a $ x $ de 0 até $ y $, e depois em relação a $ y $ de 0 até 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ x $:
x
A integral de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^2}{2} $. Então:
integralx=0^y x cdot 1y , dx = 1y integral0^y x , dx

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
E[X] = integraly=0^1 y2 , dy
Essa integral é simplesmente a integral de $ \frac{y}{2} $ em relação a $ y $ de 0 a 1.

Passo 6

Calculando a integral:
integral0^1 y2 , dy = 12 integral0^1 y , dy = 12 [ y^22 ]0^1 = 12 ( 12 - 0 ) = 14

Resposta

O valor esperado de $ X $ é:
X

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