Se
e
possuem função densidade conjunta
calcule:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, com uma função densidade conjunta definida por:
O objetivo aqui é calcular o valor esperado de $ X $, que é representado por $ \mathbf{E}[X] $. Para isso, vamos precisar utilizar conhecimentos de probabilidade, especificamente sobre funções densidade conjunta e como calcular o valor esperado a partir delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado de $ X $ quando temos a função densidade conjunta de $ X $ e $ Y $. A fórmula para $ \mathbf{E}[X] $ é dada por:
No nosso caso, sabemos que $ f(x, y) = \frac{1}{y} $ apenas dentro dos limites $ 0 < y < 1 $ e $ 0 < x < y $. Fora desses limites, a função densidade é zero. Portanto, podemos ajustar os limites de integração para essas regiões.
Passo 3
Vamos ajustar os limites de integração de acordo com a definição da função densidade:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a $ x $ de 0 até $ y $, e depois em relação a $ y $ de 0 até 1.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ x $:
A integral de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^2}{2} $. Então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa integral é simplesmente a integral de $ \frac{y}{2} $ em relação a $ y $ de 0 a 1.
Passo 6
Calculando a integral:
Resposta
O valor esperado de $ X $ é: