Para X1, X2, ldots variáveis aleatórias contínuas, independentes e identicamente distribuídas, defina N >= 2 como o primeiro instante no qual a sequência (Xn)n >= 1 para de crescer. Ou seja
N=n=X1 <= X2 cdots <= Xn-1>Xn
Mostre que E[N]=e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente considerar uma sequência de variáveis aleatórias contínuas, independentes e com a mesma distribuição. A gente define $ N $ como o primeiro momento em que essa sequência para de crescer. Ou seja, $ N $ é o primeiro índice onde o valor atual é menor que o anterior.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, variáveis aleatórias, e expectativa matemática. Precisamos entender como calcular a probabilidade de cada $ N = n $ e, a partir daí, encontrar a expectativa de $ N $, que é $ \mathbf{E}[\mathrm{N}] $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ N = n $. Isso quer dizer que os primeiros $ n-1 $ números da sequência estão crescendo, ou seja, $ X_1 \leq X_2 \leq \dots \leq X_{n-1} $, e então $ X_n $ é menor que $ X_{n-1} $.
Como as variáveis são independentes e identicamente distribuídas (iid), a probabilidade de qualquer ordem específica ocorrer é a mesma. No caso de $ n $ números distintos, existem $ n! $ (fatorial de $ n $) ordenações possíveis, todas igualmente prováveis.

Passo 3

A probabilidade de ocorrer exatamente a ordem crescente até $ n-1 $ e depois uma queda no $ n $-ésimo termo é de $ \frac{1}{n!} $. Isso porque existem $ n! $ formas de ordenar $ n $ números, e apenas uma delas satisfaz $ X_1 \leq X_2 \leq \dots \leq X_{n-1} > X_n $.
Portanto, podemos escrever:
n-1

Passo 4

Agora, para encontrar a expectativa de $ N $, usamos a definição de expectativa para variáveis discretas:
N
Substituindo $ P(N = n) $ pela expressão que encontramos:
E[N] = sumn=2^infty n cdot P(N = n)

Passo 5

Vamos simplificar essa soma. Sabemos que:
sumn=0^infty 1n! = e
E também que:
sumn=1^infty 1(n-1)! = e
Comparando com a nossa soma:
sumn=2^infty nn! = sumn=2^infty 1(n-1)! = sumk=1^infty 1k! = e - 1
Mas perceba que nosso índice começa em 2, então:
E[N] = e

Resposta

E[N] = e

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