Para
variáveis aleatórias contínuas, independentes e identicamente distribuídas, defina
como o primeiro instante no qual a sequência
para de crescer. Ou seja
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente considerar uma sequência de variáveis aleatórias contínuas, independentes e com a mesma distribuição. A gente define $ N $ como o primeiro momento em que essa sequência para de crescer. Ou seja, $ N $ é o primeiro índice onde o valor atual é menor que o anterior.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, variáveis aleatórias, e expectativa matemática. Precisamos entender como calcular a probabilidade de cada $ N = n $ e, a partir daí, encontrar a expectativa de $ N $, que é $ \mathbf{E}[\mathrm{N}] $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ N = n $. Isso quer dizer que os primeiros $ n-1 $ números da sequência estão crescendo, ou seja, $ X_1 \leq X_2 \leq \dots \leq X_{n-1} $, e então $ X_n $ é menor que $ X_{n-1} $.
Como as variáveis são independentes e identicamente distribuídas (iid), a probabilidade de qualquer ordem específica ocorrer é a mesma. No caso de $ n $ números distintos, existem $ n! $ (fatorial de $ n $) ordenações possíveis, todas igualmente prováveis.
Passo 3
A probabilidade de ocorrer exatamente a ordem crescente até $ n-1 $ e depois uma queda no $ n $-ésimo termo é de $ \frac{1}{n!} $. Isso porque existem $ n! $ formas de ordenar $ n $ números, e apenas uma delas satisfaz $ X_1 \leq X_2 \leq \dots \leq X_{n-1} > X_n $.
Portanto, podemos escrever:
Passo 4
Agora, para encontrar a expectativa de $ N $, usamos a definição de expectativa para variáveis discretas:
Substituindo $ P(N = n) $ pela expressão que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar essa soma. Sabemos que:
E também que:
Comparando com a nossa soma:
Mas perceba que nosso índice começa em 2, então: