1. Complete a seguinte tabela de coordenadas.
cartesianas: (x, y, z) cilíndricas: (r, theta, z) esféricas: rho, theta, phi
(2, 2, -1)
(12, pi/6, 3pi/4)
(1, 1, -raiz(2))
(1, pi / 4, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de coordenadas! A gente precisa completar uma tabela que relaciona as coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas de alguns pontos no espaço. Para isso, vamos usar as fórmulas de conversão entre esses sistemas de coordenadas. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso de um jeito bem tranquilo.

Passo 2

Vamos começar preenchendo a primeira linha da tabela, onde temos as coordenadas cartesianas . Precisamos encontrar as coordenadas cilíndricas (r, theta, z) e esféricas rho, theta, phi.
Primeiro, para converter de cartesianas para cilíndricas:
  • O valor de z continua o mesmo.
  • O raio r é calculado por .
  • O ângulo theta é dado por .
Vamos calcular:
  • .
  • .
Então, as coordenadas cilíndricas são .

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas para esféricas rho, theta, phi.
As fórmulas para essa conversão são:
  • .
  • theta segue o mesmo valor da coordenada cilíndrica.
  • .
Calculando:
  • .
  • .
  • .
Então, as coordenadas esféricas são .

Passo 4

Vamos para a segunda linha da tabela, onde temos as coordenadas esféricas . Precisamos encontrar as coordenadas cartesianas (x, y, z) e cilíndricas (r, theta, z).
Primeiro, converteremos para cartesianas:
  • .
  • .
  • .
Calculando:
  • .
  • .
  • .
Então, as coordenadas cartesianas são .

Passo 5

Ainda na segunda linha, vamos converter as coordenadas esféricas para cilíndricas (r, theta, z).
Usamos:
  • .
  • theta mantém o mesmo valor.
  • .
Calculando:
  • .
  • .
  • .
Então, as coordenadas cilíndricas são .

Passo 6

Vamos para a terceira linha, onde temos as coordenadas cartesianas . Precisamos encontrar as coordenadas cilíndricas (r, theta, z) e esféricas rho, theta, phi.
Primeiro, vamos para cilíndricas:
  • .
  • .
  • z permanece .
Então, as coordenadas cilíndricas são .

Passo 7

Agora, convertendo para esféricas:
  • .
  • .
  • .
Então, as coordenadas esféricas são .

Passo 8

Finalmente, na quarta linha, temos as coordenadas cilíndricas . Precisamos encontrar as coordenadas cartesianas (x, y, z) e esféricas rho, theta, phi.
Primeiro, convertendo para cartesianas:
  • .
  • .
  • .
Então, as coordenadas cartesianas são .

Passo 9

Agora, vamos para as coordenadas esféricas:
  • .
  • .
  • .
Então, as coordenadas esféricas são .

Resposta

cartesianas: (x, y, z) cilíndricas: (r, theta, z) esféricas: rho, theta, phi
(2, 2, -1)
(1, 1, -raiz(2))

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