Particionando a matriz [llll1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 4 0 & 0 & 1 & 2 3 & 4 & 2 & 5] de forma conveniente, determine sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada de ordem 4:
A = 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 4 0 & 0 & 1 & 2 3 & 4 & 2 & 5
O objetivo aqui é encontrar a inversa dessa matriz. Para isso, vamos usar o conceito de particionamento de matrizes, que é uma técnica para dividir uma matriz grande em blocos menores para facilitar os cálculos. Vamos precisar conhecer um pouquinho sobre matrizes inversas e como elas se comportam quando a matriz é dividida em blocos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como podemos dividir a matriz A = I & u v^T & a de uma maneira conveniente. Observando a matriz, notamos que os três primeiros elementos da diagonal principal são 1 e o restante têm valores que podemos aproveitar. Vamos particionar da seguinte forma:
Aqui:
  • é a matriz identidade de ordem 3, que corresponde aos primeiros três elementos da diagonal principal de .
  • é um vetor coluna com os elementos [3; 4; 2], que são os elementos da última coluna da matriz acima da linha final.
  • é um vetor linha com os mesmos elementos [3, 4, 2], que são os elementos da última linha da matriz além do último elemento.
  • é o último elemento da matriz , que é 5.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma fórmula útil para inverter matrizes que estão particionadas dessa maneira. Se temos:
A = I & u v^T & a
Então, a inversa de A^-1 = I & -ua + v^T u -v^Ta + v^T u & 1a + v^T u é dada por:
Essa fórmula é muito prática porque evita a necessidade de fazer toda a operação de matriz inversa do zero.

Passo 4

Vamos calcular v^T u = 3 times 3 + 4 times 4 + 2 times 2 = 9 + 16 + 4 = 29 :
a + v^T u = 5 + 29 = 34
Agora, somamos isso com :

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a inversa de A^-1 = I & -u34 -v^T34 & 134 usando a fórmula que vimos:
3 4 2
Substituindo 3 & 4 & 2 e A^-1 = 1 & 0 & 0 & -334 0 & 1 & 0 & -434 0 & 0 & 1 & -234 -334 & -434 & -234 & 134 , temos:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 1 & 0 & 0 & -334 0 & 1 & 0 & -434 0 & 0 & 1 & -234 -334 & -434 & -234 & 134 é:

Exercícios relacionados

Escreva as equações paramétricas da reta abaixo e determine a equação do plano que passa por P(1,1,2) e é perpendicular à reta:
x-12=y3=z+17
Dada Dadas as matrizes
A2 times 2=[ll 2 & 5 9 & 3 ],
e sabendo que alpha e beta são números reais, tais que, alpha+beta=3 calcule, alpha A+beta A.
Calcule lang<= u-2 v-w, 3 w-vrang<= sendo |u|=1,|v|=1,|w|=raiz3,lang<=u, vrang<==-1,lang<=u, wrang<==0 elang<=v, wrang<==3.
Se A é definida como A=[llB & 0 0 & C], prove que A^-=[llB^- & 0 O & C^-], onde A^-, B^-e C^-são inversas generalizadas de A, B e C respectivamente.