O objetivo aqui é encontrar a inversa dessa matriz. Para isso, vamos usar o conceito de particionamento de matrizes, que é uma técnica para dividir uma matriz grande em blocos menores para facilitar os cálculos. Vamos precisar conhecer um pouquinho sobre matrizes inversas e como elas se comportam quando a matriz é dividida em blocos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como podemos dividir a matriz A = I & u v^T & a de uma maneira conveniente. Observando a matriz, notamos que os três primeiros elementos da diagonal principal são 1 e o restante têm valores que podemos aproveitar. Vamos particionar da seguinte forma:
Aqui:
é a matriz identidade de ordem 3, que corresponde aos primeiros três elementos da diagonal principal de .
é um vetor coluna com os elementos [3; 4; 2], que são os elementos da última coluna da matriz acima da linha final.
é um vetor linha com os mesmos elementos [3, 4, 2], que são os elementos da última linha da matriz além do último elemento.
é o último elemento da matriz , que é 5.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma fórmula útil para inverter matrizes que estão particionadas dessa maneira. Se temos:
A = I & u v^T & a
Então, a inversa de A^-1 = I & -ua + v^T u -v^Ta + v^T u & 1a + v^T u é dada por:
Essa fórmula é muito prática porque evita a necessidade de fazer toda a operação de matriz inversa do zero.
Passo 4
Vamos calcular v^T u = 3 times 3 + 4 times 4 + 2 times 2 = 9 + 16 + 4 = 29 :
a + v^T u = 5 + 29 = 34
Agora, somamos isso com :
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a inversa de A^-1 = I & -u34 -v^T34 & 134 usando a fórmula que vimos: