Escreva as equações paramétricas da reta abaixo e determine a equação do plano que passa por P(1,1,2) e é perpendicular à reta:
x-12=y3=z+17

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos escrever as equações paramétricas de uma reta e encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular a essa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta dada. A reta está representada de forma simétrica:
x-12=y3=z+17
Para transformar isso em equações paramétricas, introduzimos um parâmetro x = 1 + 2t que representa os diferentes pontos na reta. Assim, podemos escrever:
y = 0 + 3t (porque no numerador do y está apenas y)
z = -1 + 7t á
x = 1 + 2t
Então, as equações paramétricas da reta são:
y = 3t
z = -1 + 7t

Passo 3

Agora, vamos determinar a equação do plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta que acabamos de parametrizar. Para isso, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Como o plano é perpendicular à reta, o vetor diretor da reta será o vetor normal do plano.
O vetor diretor da reta é . Portanto, o vetor normal ao plano também será .

Passo 4

Com o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e o ponto 2(x - 1) + 3(y - 1) + 7(z - 2) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
2x - 2 + 3y - 3 + 7z - 14 = 0
Onde 2x + 3y + 7z - 19 = 0 e . Calculando o produto escalar:
Expandindo:
Simplificando:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 1 + 2t
y = 3t
z = -1 + 7t
E a equação do plano que passa pelo ponto 2x + 3y + 7z - 19 = 0 e é perpendicular à reta é:

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