Escreva as equações paramétricas da reta abaixo e determine a equação do plano que passa por e é perpendicular à reta:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos escrever as equações paramétricas de uma reta e encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular a essa reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta dada. A reta está representada de forma simétrica:
Para transformar isso em equações paramétricas, introduzimos um parâmetro que representa os diferentes pontos na reta. Assim, podemos escrever:
Então, as equações paramétricas da reta são:
Passo 3
Agora, vamos determinar a equação do plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta que acabamos de parametrizar. Para isso, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Como o plano é perpendicular à reta, o vetor diretor da reta será o vetor normal do plano.
O vetor diretor da reta é . Portanto, o vetor normal ao plano também será .
Passo 4
Com o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde e . Calculando o produto escalar:
Expandindo:
Simplificando:
Resposta
As equações paramétricas da reta são:
E a equação do plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta é: