Estação espacial girando. Um problema para a vida humana no espaço exterior é o peso aparente igual a zero. Um modo de contornar o problema seria fazer a estação espacial girar em torno do centro com uma taxa constante. Isso criaria uma a) Se o diâmetro da estação espacial for igual a 800 m, quantas revoluções por minuto seriam necessárias a fim de que a aceleração da b) Se a estação espacial fosse projetada para viajantes que querem ir a Marte, seria desejável simular a aceleração da gravidade na superfície de Marte (3,7 m / s^2). Quantas revoluções por minuto seriam necessárias nesse caso?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma estação espacial que está girando para criar uma aceleração centrípeta, que simula a gravidade e evita que os astronautas fiquem flutuando. O diâmetro da estação é de 800 metros. Precisamos calcular quantas revoluções por minuto (RPM) são necessárias para:
a) Criar uma aceleração equivalente à gravidade da Terra, que é aproximadamente 9,8 , m/s^2.
b) Criar uma aceleração equivalente à gravidade de Marte, que é 3,7 , m/s^2.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da aceleração centrípeta e relacioná-la com a velocidade angular da estação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da aceleração centrípeta ( ac):
ac = omega^2 times r
Onde:
  • omega é a velocidade angular em radianos por segundo.
  • r é o raio da estação.
Como o diâmetro é 800 metros, o raio r será metade disso:
r = 8002 = 400 , m

Passo 3

Queremos encontrar a velocidade angular omega que gera a aceleração centrípeta desejada. Vamos rearranjar a fórmula para resolver omega:
omega = raizacr
Depois de achar omega, vamos converter para revoluções por minuto (RPM).

Passo 4

Vamos fazer o cálculo para o item a), onde ac = 9,8 , m/s^2:
omega = raiz9,8400 = raiz0,0245 approx 0,1567 , rad/s
Agora, precisamos converter omega de radianos por segundo para RPM. Sabemos que:
1 , rev = 2pi , rad
RPM = omega times 602pi
Então:
RPM = 0,1567 times 606,2832 approx 1,5 , RPM

Passo 5

Agora, vamos para o item b), onde ac = 3,7 , m/s^2:
omega = raiz3,7400 = raiz0,00925 approx 0,0962 , rad/s
Convertendo para RPM:
RPM = 0,0962 times 606,2832 approx 0,92 , RPM

Resposta

a) Seriam necessárias aproximadamente 1,5 revoluções por minuto para simular a aceleração da gravidade da Terra.
b) Seriam necessárias aproximadamente 0,92 revoluções por minuto para simular a aceleração da gravidade na superfície de Marte.

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