Uma partícula de 2,00 kg tem coordenadas x y (-1,20 m, 0,500 m) e uma partícula de 4,00 kg tem coordenadas x y(0,699 m,-0,750 m). Ambas estão em um plano horizontal. Em que coordenada (a) x e (b) y deve ser posicionada uma terceira partícula de 3,00 kg para que o centro de massa do sistema de três partículas tenha coordenadas (-0,500 m,-0,700 m) ?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: Temos duas partículas com massas e posições específicas, e precisamos encontrar a posição de uma terceira partícula de 3,00 kg de maneira que o centro de massa do sistema formado pelas três partículas fique nas coordenadas (-0,500, m, -0,700, m). Para resolver isso, vamos usar o conceito de centro de massa, que é uma forma de localizar o “equilíbrio” de um sistema de partículas. Precisamos das fórmulas que calculam o centro de massa nas direções x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o centro de massa. Para um sistema de partículas, o centro de massa nas direções x e y é dado por:
Xc = sum mi xisum mi
Yc = sum mi yisum mi
Onde:
  • mi é a massa de cada partícula,
  • xi e yi são as coordenadas de cada partícula,
  • Xc e Yc são as coordenadas do centro de massa.
Vamos aplicar essas fórmulas ao nosso problema.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a soma das massas:
mtotal = m1 + m2 + m3 = 2,00, kg + 4,00, kg + 3,00, kg = 9,00, kg
Agora, aplicamos a fórmula do centro de massa para a coordenada x:
Xc = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3mtotal
Substituindo os valores conhecidos:
-0,500 = 2,00 times (-1,20) + 4,00 times 0,699 + 3,00 times x39,00
Vamos resolver essa equação para encontrar x3.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 9,00 para eliminar o denominador:
-0,500 times 9,00 = 2,00 times (-1,20) + 4,00 times 0,699 + 3,00 times x3
-4,500 = -2,40 + 2,796 + 3,00 times x3
Agora, somamos os termos constantes:
-4,500 = 0,396 + 3,00 times x3
Subtraímos 0,396 de ambos os lados:
-4,500 - 0,396 = 3,00 times x3
-4,896 = 3,00 times x3
Finalmente, dividimos ambos os lados por 3,00 para encontrar x3:
x3 = -4,8963,00 = -1,632, m

Passo 5

Agora, vamos calcular a coordenada y usando a mesma abordagem. A fórmula do centro de massa para y é:
Yc = m1 y1 + m2 y2 + m3 y3mtotal
Substituindo os valores conhecidos:
-0,700 = 2,00 times 0,500 + 4,00 times (-0,750) + 3,00 times y39,00
Vamos resolver essa equação para encontrar y3.

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por 9,00:
-0,700 times 9,00 = 2,00 times 0,500 + 4,00 times (-0,750) + 3,00 times y3
-6,300 = 1,00 - 3,00 + 3,00 times y3
Simplificando os termos constantes:
-6,300 = -2,00 + 3,00 times y3
Adicionamos 2,00 aos dois lados:
-6,300 + 2,00 = 3,00 times y3
-4,300 = 3,00 times y3
Dividimos por 3,00 para encontrar y3:
y3 = -4,3003,00 = -1,433, m

Resposta

A terceira partícula de 3,00, kg deve ser posicionada nas coordenadas:
x = -1,632, m, y = -1,433, m

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