• Uma partícula é acelerada a partir do repouso por uma força resultante constante. (a) Mostre que a potência instantânea fornecida pela força resultante é P=m a^2 t. (b) Para triplicar a aceleração em qualquer instante, qual deve ser o fator de aumento da potência? © Para t=5,0 s, a potência instantânea fornecida pela força resultante é de 36 W . Qual deverá ser o valor da potência no instante t=15,0 s para manter a aceleração constante ? Resp: (b) 9 ; © 108 W .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente está falando sobre uma partícula que começa do repouso e é acelerada por uma força constante. A matéria aqui envolve conceitos de dinâmica (força e aceleração) e potência. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar força, aceleração, potência e tempo. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potência instantânea. Potência é a taxa na qual o trabalho é realizado ou a energia é transmitida. Matematicamente, a potência P = F cdot v pode ser expressa como:
F = m cdot a
Onde:
  • v = a cdot t é a força aplicada,
  • P = F cdot v = m cdot a cdot a cdot t = m cdot a^2 cdot t é a velocidade da partícula.
Como a força resultante é constante e a partícula parte do repouso, podemos relacionar a aceleração P = m a^2 t usando a segunda lei de Newton:
A velocidade em função do tempo é:
Agora, substituindo e na expressão da potência:
Então, mostramos que:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Queremos triplicar a aceleração em qualquer instante. Vamos ver como isso afeta a potência.
A potência é dada por P' = m (3a)^2 t = m cdot 9a^2 t = 9 cdot (m a^2 t) = 9P . Se triplicarmos a aceleração ( ), a nova potência será:
Então, para triplicar a aceleração, a potência precisa aumentar por um fator de 9.

Passo 4

Por último, na parte ©, nos dizem que para P2P1 = t2t1 Rightarrow P2 = P1 cdot t2t1 segundos, a potência é de 36 W. Queremos saber qual será a potência em P2 = 36,W cdot 15,0,s5,0,s = 36,W cdot 3 = 108,W segundos mantendo a aceleração constante.
Usando a expressão da potência , e sabendo que a aceleração é constante, a potência é diretamente proporcional ao tempo. Portanto:
Substituindo os valores:

Resposta

(b) 9 ; © 108 W

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