Uma partícula em uma caixa unidimensional
está no estado
a) Encontre
para que
seja normalizado.
b) Quais são os resultados possíveis das medições de energia e quais são as respectivas probabilidades de obtenção de cada resultado?
c) A energia é medida e encontrada como
. Qual é o estado do sistema imediatamente após a medição?
b) Quais são os resultados possíveis das medições de energia e quais são as respectivas probabilidades de obtenção de cada resultado?
c) A energia é medida e encontrada como
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma partícula em uma caixa unidimensional. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, especificamente a normalização de funções de onda e os possíveis resultados de medições de energia. Para resolver a parte (a), que pede para encontrar o valor de
para que
seja normalizada, vamos precisar usar o conceito de que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função de onda ser normalizada. Em mecânica quântica, a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar na caixa deve ser 1. Matematicamente, isso é expresso por:
Aqui,
é a função de onda dada:
Vamos calcular o módulo ao quadrado de
, ou seja,
, que envolve multiplicar
pela sua conjugada. Como os termos são funções reais, fica:
Passo 3
Expandindo o quadrado, teremos:
No entanto, devido às propriedades das funções seno com diferentes múltiplos de
, as integrais dos termos de mistura (onde os índices dos senos são diferentes) serão zero. Portanto, restam apenas os termos quadráticos.
Passo 4
Calculando cada termo quadrático:
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
- Para o terceiro termo:
Passo 5
Agora, somando todos os termos e igualando a 1:
Vamos somar os termos constantes:
Então:
Resposta
a) O valor de
para que
seja normalizado é: