Uma partícula em uma caixa unidimensional 0 <= x <= a está no estado
Psi(x)=1raiz10 a sin (pi xa)+A raiz2a sin (2 pi xa)+3raiz5 a sin (3 pi xa)
a) Encontre A para que Psi(x) seja normalizado.
b) Quais são os resultados possíveis das medições de energia e quais são as respectivas probabilidades de obtenção de cada resultado?
c) A energia é medida e encontrada como (2 pi^2 hbar^2) /(m a^2). Qual é o estado do sistema imediatamente após a medição?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma partícula em uma caixa unidimensional. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, especificamente a normalização de funções de onda e os possíveis resultados de medições de energia. Para resolver a parte (a), que pede para encontrar o valor de para que seja normalizada, vamos precisar usar o conceito de que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função de onda ser normalizada. Em mecânica quântica, a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar na caixa deve ser 1. Matematicamente, isso é expresso por:
integral0^a |Psi(x)|^2 dx = 1
Aqui, Psi(x) = 1raiz10 a sin (pi xa) + A raiz2a sin (2 pi xa) + 3raiz5 a sin (3 pi xa) é a função de onda dada:
|Psi(x)|^2 = ( 1raiz10 a sin (pi xa) + A raiz2a sin (2 pi xa) + 3raiz5 a sin (3 pi xa) )^2
Vamos calcular o módulo ao quadrado de , ou seja, , que envolve multiplicar pela sua conjugada. Como os termos são funções reais, fica:

Passo 3

Expandindo o quadrado, teremos:
|Psi(x)|^2 = ( 1raiz10 a sin (pi xa) )^2 + ( A raiz2a sin (2 pi xa) )^2 + ( 3raiz5 a sin (3 pi xa) )^2 + 2 cdot 1raiz10 a cdot A raiz2a sin (pi xa) sin (2 pi xa) + 2 cdot 1raiz10 a cdot 3raiz5 a sin (pi xa) sin (3 pi xa) + 2 cdot A raiz2a cdot 3raiz5 a sin (2 pi xa) sin (3 pi xa)
No entanto, devido às propriedades das funções seno com diferentes múltiplos de , as integrais dos termos de mistura (onde os índices dos senos são diferentes) serão zero. Portanto, restam apenas os termos quadráticos.

Passo 4

Calculando cada termo quadrático:
  1. Para o primeiro termo:
( 1raiz10 a )^2 integral0^a sin^2 ( pi xa ) dx = 110 a cdot a2 = 120
  1. Para o segundo termo:
( A raiz2a )^2 integral0^a sin^2 ( 2 pi xa ) dx = A^2 cdot 2a cdot a2 = A^2
  1. Para o terceiro termo:
( 3raiz5 a )^2 integral0^a sin^2 ( 3 pi xa ) dx = 95 a cdot a2 = 910

Passo 5

Agora, somando todos os termos e igualando a 1:
120 + A^2 + 910 = 1
Vamos somar os termos constantes:
120 + 910 = 120 + 1820 = 1920
Então:
1920 + A^2 = 1 A^2 = 1 - 1920 = 120 A = raiz120 = 12raiz5 = raiz510

Resposta

a) O valor de A = raiz510 para que seja normalizado é:

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