Anteriormente, consideramos o seguinte estado para uma partícula presa em uma caixa unidimensional:
Psi(x)=12 raiz2a sin (pi xa)+raiz1a sin (3 pi xa)-12 raiz2a sin (4 pi xa)
Qual é a energia média para este sistema?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma partícula presa em uma caixa unidimensional e nos dá uma função de onda específica. O conteúdo que vamos usar aqui é a energia média de um sistema quântico. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia média usando a função de onda fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em mecânica quântica, a função de onda Psi(x) = 12 raiz2a sin (pi xa) + raiz1a sin (3 pi xa) - 12 raiz2a sin (4 pi xa) pode ser escrita como uma combinação de estados de energia próprios. No nosso caso, temos:
Cada termo corresponde a um estado de energia .

Passo 3

A fórmula para a energia média lang<= E rang<= = sumn |cn|^2 En de um estado quântico é a soma das probabilidades de estar em cada estado de energia multiplicadas por essas energias:
Onde são os coeficientes que aparecem na nossa função de onda.

Passo 4

Vamos identificar os coeficientes na nossa função de onda:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular |c1|^2 = (12 raiz2a)^2 = 14 cdot 2a = 12a para cada |c3|^2 = (raiz1a)^2 = 1a :
|c4|^2 = (-12 raiz2a)^2 = 14 cdot 2a = 12a

Passo 6

Sabemos que a energia dos estados em uma caixa é dada por:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m a^2
Por isso, teremos:
E1 = pi^2 hbar^22 m a^2, E3 = 9 pi^2 hbar^22 m a^2, E4 = 16 pi^2 hbar^22 m a^2

Passo 7

Agora, vamos multiplicar cada lang<= E rang<= = |c1|^2 E1 + |c3|^2 E3 + |c4|^2 E4 pela respectiva lang<= E rang<= = 12a cdot pi^2 hbar^22 m a^2 + 1a cdot 9 pi^2 hbar^22 m a^2 + 12a cdot 16 pi^2 hbar^22 m a^2 e somar tudo:
Substituindo:

Passo 8

Vamos simplificar cada termo:
12a cdot pi^2 hbar^22 m a^2 = pi^2 hbar^24 m a^3
1a cdot 9 pi^2 hbar^22 m a^2 = 9 pi^2 hbar^22 m a^3
12a cdot 16 pi^2 hbar^22 m a^2 = 16 pi^2 hbar^24 m a^3 = 4 pi^2 hbar^2m a^3

Passo 9

Agora, somamos todos os termos:
lang<= E rang<= = pi^2 hbar^24 m a^3 + 9 pi^2 hbar^22 m a^3 + 4 pi^2 hbar^2m a^3
Para somar, encontramos um denominador comum:
lang<= E rang<= = (14 + 92 + 4) cdot pi^2 hbar^2m a^3
Convertendo para frações com denominador 4:
14 + 184 + 164 = 354
Então:
lang<= E rang<= = 354 cdot pi^2 hbar^2m a^3

Resposta

A energia média para este sistema é:
lang<= E rang<= = 35 pi^2 hbar^24 m a^3

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