Anteriormente, consideramos o seguinte estado para uma partícula presa em uma caixa unidimensional:
Qual é a energia média para este sistema?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma partícula presa em uma caixa unidimensional e nos dá uma função de onda específica. O conteúdo que vamos usar aqui é a energia média de um sistema quântico. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia média usando a função de onda fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em mecânica quântica, a função de onda pode ser escrita como uma combinação de estados de energia próprios. No nosso caso, temos:
Cada termo corresponde a um estado de energia .

Passo 3

A fórmula para a energia média de um estado quântico é a soma das probabilidades de estar em cada estado de energia multiplicadas por essas energias:
Onde são os coeficientes que aparecem na nossa função de onda.

Passo 4

Vamos identificar os coeficientes na nossa função de onda:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular para cada :

Passo 6

Sabemos que a energia dos estados em uma caixa é dada por:
Por isso, teremos:

Passo 7

Agora, vamos multiplicar cada pela respectiva e somar tudo:
Substituindo:

Passo 8

Vamos simplificar cada termo:

Passo 9

Agora, somamos todos os termos:
Para somar, encontramos um denominador comum:
Convertendo para frações com denominador 4:
Então:

Resposta

A energia média para este sistema é:

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Uma partícula de massa é confinada em uma caixa unidimensional com dimensões e é conhecida por estar no segundo estado excitado . De repente, a largura da caixa é dobrada , sem perturbar o estado da partícula. Se uma medição da energia for encontrada, encontre as probabilidades de encontrarmos o sistema no estado fundamental e no primeiro estado excitado.
O operador de momento é hermitiano?
Suponha que uma partícula de massa em uma caixa unidimensional seja descrita pela função de onda
encontre a corrente de probabilidade para esta função de onda.